複素数の初歩的な取扱い
\(i^2=-1\)という新しい数を導入してその取扱について学びます．直近では二次方程式の解を導くときに役に立ちます．計算を行う上で重要なポイントは次の通りです．
・四則計算では \(i\) を一つの文字として取り扱ってよい．
・\(a+bi=c+di \Leftrightarrow a=c, b=d\)
・共役複素数とは
・複素数の絶対値
問題43 複素数の四則演算
（１） 実部同士，虚部同士計算を行えばよい
\((2+3i) + (3-4i) = (2+3) + (3-4)i)= 5 -i\)
（２） 実部同士，虚部同士計算を行えばよい
\((4+5i)-(2+2i)=4+5i-2-2i=(4-2)+(5-2)i=2+3i\)
（３） 展開-> \(i^2=-1\) -> 実部と虚部の計算，乗法公式を用いても良い
\((2+i)(3+5i)=6+10i+3i+5i^2=(6-5) + (10+3)i=1+13i\)
（４）
\((3-2i)(i-4)=3i-12-2i^2+8i=-12+2+11i=-10+11i\)
（５）分母から虚数を消す
\(\displaystyle\frac{1-i}{1+i}=\displaystyle\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\displaystyle\frac{1-2i+i^2}{1-i^2}=\displaystyle\frac{-2i}{1-(-1)}=-i\)
（６）
\(\displaystyle\frac{1}{2i}\times (1+i)^2=\displaystyle{\frac{1+2i+i^2}{2i}}=\displaystyle{\frac{1+2i-1}{2i}}=1\)
問題44 \(\sqrt{-1}=i\)
（１）
与式\(=\sqrt{-8}\times \sqrt{-2}=\sqrt{8}i\times \sqrt{2}i\)
\(=2\sqrt{2}i \times \sqrt{2}i=2\times 2 \times(i^2)=4\times (-1)=-4\)
（２）
与式\(=\sqrt{-3}\times \sqrt 6=\sqrt{3}i \times \sqrt 6=\sqrt{3\times 6}i=\sqrt{18}i=3\sqrt{2}i\)
（３）
\(\sqrt 5 \times \sqrt{-5}= \sqrt 5 \times \sqrt 5 i=(\sqrt 5)^2i=5i\)
（４）解答のページを見ますと正解は２と書かれています．以下の（解１），（解２），（解３）の３つとも正しいでしょうか．ヒントは「負の数の平方根同士の掛け算」に書いておきます．
（解１）\(\displaystyle{\frac{\sqrt{-8}}{\sqrt{-2}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt 8 i}{\sqrt 2 i}}=\displaystyle{\frac{2\sqrt 2}{\sqrt 2}}=2\)
（解２）\(\displaystyle{\frac{\sqrt{-8}}{\sqrt{-2}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt 8 i}{\sqrt 2 i}}=\displaystyle{\sqrt\frac{8}{2}}=\displaystyle{\sqrt{4}} = 2\)
（解３）\(\displaystyle{\frac{\sqrt{-8}}{\sqrt{-2}}}=\displaystyle{\sqrt\frac{-8}{-2}}=\displaystyle{\sqrt{4}} = 2\)
（５）
\(\displaystyle{\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{-3}}}=\displaystyle{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}i}}=\displaystyle{\frac{2i}{i^2}}=-2i\)
（６）
\(\displaystyle{\frac{\sqrt{-15}}{\sqrt{5}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{15}i}{\sqrt{5}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}\sqrt{5}i}{\sqrt{5}}}=\sqrt{3}i\)
複素数の直交座標系表示
複素数を座標上に表示することについて説明します．複素数は実部と虚部を持ちますので２次元で表示します．これまでのX軸に相当する座標系を実軸といい\(Re\)と書きます．英語のRealから来ています．また，これまでのY軸に相当する座標系を虚軸といい\(Im\)と書きます．英語のImaginaryから来ています．
いま，\(P=a+bi\)，（\(a\)と\(b\)はともに実数），という複素数を座標系に表示したものを，下記に示しておきます．原点\(O\)から点\(P\)までの距離\(\overline{OP}\)が複素数\(P\)の絶対値に相当します．\(\overline{OP}\)は 三平方の定理より\(\sqrt{a^2+b^2}\)となります．
fig_cartesian_comp共役複素数の幾何学的意味は下の図に示しています．\(a+bi\)の共役複素数は\(a-bi\)です．時々は英語による説明を視聴されるのは英語学習と一石二鳥かと思われます．英語そのものは簡単な表現ですので，比較的理解しやすいかと思われます．FaceBookに説明動画のリンクを貼っておきます．
fig_ccn-cropPDF Embedder requires a url attribute
問題45
解答を図示しておきます．薄くて読みづらい方は連絡ください．PDFを送ります．
fig_ex45-crop問題46
これは，図から読み取るしかないですね．
（１） \(A=3+4i\)
（２） \(B=-4-4i\)
（３） \(C=-3+i\)
（４） \(D=-2i\)
問題47
（１）
与式\(=4+3i+\overline{4+3i}=4+3i+4-3i=8\)
（２）
与式\(=(-3+2i)\overline{(-3+2i)}=(-3+2i)(-3-2i)\)
\(=-9+6i-6i+2i\times (-2i)=-9-4i^2=9+4=13\)
問題48
（１）
\(|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt 2\)
（２）
\(|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt 2\)
（３）
\(|-2+3i|=\sqrt{(-2)^2+(3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt 13\)
（４）
\(|1+\sqrt{3}i|=\sqrt{1^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt{1+3}=2\)
問題４９
（１）\(|\alpha\beta|=|\alpha||\beta|\)を活用する
\(|(1+2i)(2+i)|=|1+2i||2+i|=\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{2^2+1^1}=\sqrt{5}\sqrt{5}=(\sqrt{5})^2=5\)
別解 \((1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i^2=2+5i-2=5i\)
よって，求める絶対値は \(|5i|=\sqrt{5^2}=5\)
（２）\(\displaystyle{|\frac{\alpha}{\beta}|}=\displaystyle{\frac{|\alpha|}{|\beta|}}\)を活用する．
\(\displaystyle{|\frac{1}{3-\sqrt{3}i}|}=\displaystyle{\frac{1}{|3-\sqrt{3}i|}}=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3^2+(\sqrt3)^2}}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt 3}\)
計算の約束にしたがってミスなく行えば，正解には辿り着ける．ここでは複素数の計算が幾何学にどのような意味を持っているのか，別な記事として準備しています．「複素数の計算における幾何学的な意味」を閑話休題としてご覧ください．
問題53
問題54 複素数の絶対値を求める問題
（１）
\(|(3+i)(1-2i)|=|3+1||1-2i|=\sqrt{3^2+1^2}\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{10}\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{50}=5\sqrt 2\)
（２）
\(\displaystyle{|\frac{4-3i}{2+i}|}=\displaystyle\frac{|4-3i|}{|2+i|}=\displaystyle{\frac{\sqrt{4^2+(-3)^2}}{\sqrt{2^2+1^2}}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{25}}{\sqrt 5}}=\sqrt 5\)
