ここでは第一章（改訂版の問題集）の『整式の計算』のSet UpとPlusに収録されている問題の解説を行っていきます．
問題29
（１）与えられた式を\(A\times B\times C\)と捉えると，\(A\times B\)は\(X^3-Y^3\)の形になっている．\(X=(2a)^3，Y=b^3\)とみなすと\(\times C\)は更に都合よくなっている．
$$与式=(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)(8a^3-b^3)$$
$$=(2a+b)((2a)^2-(2a)b+b^2)(8a^3-b^3)$$
$$=((2a)^3+b^3)(8a^3-b^3)$$
$$=((2a)^3+b^3)((2a)^3-b^3)$$
ここで\(X=(2a)^3，Y=b^3\)とおくと与式\(=(X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2\)となり，\(X,Y\)をもとに戻すと
$$\{(2a)^3+b^3\}\{(2a)^3-b^3\}$$
$$=\{(2a)^3\}^2-\{b^3\}^2$$
$$=(2a)^6-b^6=64a^6-b^6$$
（２） 与えられた式を\(A\times B\times C\times D\)と捉えると，\(A\times D\)より\(x^2 -5x\)が，\(B\times C\)より同様に\(x^2-5x\)が出現することがわかる．これを利用して
$$与式=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)$$
$$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$$
ここで\(x^2-5x\)をひとかたまりとして考えると
$$与式=\{(x^2-5x)^2+10(x^2-5x)+24\}$$
展開してこうべきの順に整理すると
$$与式=x^4 – 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 -50x +24$$
$$=x^4 – 10x^3 + 35x^2 -50x + 24$$
問題30
（１）低次の文字で整理，この場合は\(z\)
$$与式=(x+y)z+x^2y+xy^2$$
第３項と第４項を共通因数\(xy\)でくくると
$$与式=(x+y)z+x^2y+xy^2$$
$$=(x+y)z+xy(x+y)$$
今度は\((x+y)\)が共通因数になって，
$$与式=(x+y)z+xy(x+y)$$
$$=(x+y)(z+xy)$$
（２）\(a^3+b^3\)から\(a+b\)が，\(a^2b+ab^2\)から\(a+b\)が現れて共通因数になれることが読み取れます．
$$与式=(a+b)(a^2-ab+b^2)+ab(a+b)$$
$$=(a+b)(a^2-ab+b^2+ab)$$
$$=(a+b)(a^2+b^2)$$
（３）\(x^3=X\)とおく
$$与式=X^2-9X+8=(X-8)(X-1)$$
\(X\)を元に戻して
$$与式=(x^3-8)(x^3-1)=(x^3-2^3)(x^3-1^3)$$
\(x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\)， \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\)
よって
$$与式=(x-1)(x-3)(x^2+x+1)(x^2+2x+4)$$
（４）使用されている文字の次数が全て同じ，ここでは２次，ですから，例えば\(a\)について整理してみます．一旦，展開して整理するほうが計算が楽になるか，そうでないかは各自でトライしてください．ここでは野暮ったいけど，一旦展開します．
$$与式=a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2$$
$$=(b-c)a^2+(c^2-b^2)a+b^2c-bc^2$$
$$=(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+bc(b-c)$$
$$=(b-c)a^2 -(b+c)(b-c)a+bc(b-c)$$
$$=(b-c)\{a^2-(b+c)a+bc\}$$
$$=(b-c)(a-c)(a-b)$$
$$=-(a-b)(b-c)(c-a)$$
数学における慣習として\(a\Rightarrow b\Rightarrow c\Rightarrow a\)と\(a,b,c\)が循環するように書くのがマナーというかならわし．
問題31 因数定理を使う
（１）
\(f(x)=x^3-4x^2-3x+18\)とする．
$$f(-2)=(-2)^3 – 4\times (-2)^2 – 3\times (-2) +18$$
$$=-8 – 16 + 6 +18$$
$$=0$$
よって，与式は\((x+2)\)を因数に持つ．割り算をおこなって，
$$f(x)=(x+2)(x^2-6x+9)$$
$$=(x+2)(x-3)^2$$
（２）
\(f(x)=x^4-4x^3-5x^2-2x+10\)とおく．
$$f(1)=1-4-5+10=0$$
よって，\(f(x)\)は\(x-1\)を因数に持つ．割り算をおこなって
$$f(x)=(x-1)(x^3-3x^2-8x-10)$$
ここで，\(g(x)=x^3-3x^2-8x-10\)とおく．
$$g(5)=125 – 75 – 40 -10=0$$
よって，\(g(x)\)は\(x-5\)を因数に持つ．割り算をおこなって
$$g(x)=(x-5)(x^2+2x+2)$$
よって，
$$与式=(x-1)(x-5)(x^2+2x+2)$$
問題32 \(a^2 – b^2\)を利用する問題
（１）例題にならって
$$4a^4+1=4a^4 + 4a^2 + 1 -4a^2$$
$$=(2a^2+1)^2-4a^2$$
$$=(2a^2+1)^2 – (2a)^2$$
$$=\{(2a^2+1)+2a\}\{(2a^2+1)-2a\}$$
$$=(2a^2+2a+1)(2a^2-2a+1)$$
（２）
$$与式=9x^4+12x^2+4 – x^2$$
$$=(3x^2+2)-x^2$$
$$=(3x^2-x+2)(3x^2+x+2)$$
（３）
\(与式=x^4-6x^2+9-8\)
\(=(x^2-3)^2-8\)でうまくいかない
\(与式=x^4-6x^2+9-8\)
\(=x^4-2x^2+1-4x^2\)
\(=(x^2-1)^2-(2x)^2\)
\(=(x^2+2x-1)(x^2-2x+1)\)
（４）
考え方：\(9\)は\(3^2\)なので，これを利用すると，\((x^2-3)^2\)か\((x^2+3)^2\)というのが浮かんでくる．次は\(x^2\)の項の取扱をどうするか，です．\((x^2-3)^2\)と\((x^2+3)^2\)を展開して\(x^2\)の項について検討する．
そうすると \(x^4+6x^2+9-9x^2\) とするのが良さそうという結論を得る．
\(与式=x^4+6x^2+9-9x^2\)
\(=(x^2+3)^2-(3x)^2\)
\(=(x^2+3+3x)(x^2+3-3x)\)
\(=(x^2+3x+3)(x^2-3x+3)\)
問題33
\(x+1\)で割ったときの商を\(Q_1(x)\)，\(x-4\)で割ったときの商を\(Q_2(x)\)，\(x^2-3x-4\)で割ったときの商を\(Q(x)\)余りは１次式以下になるので\(ax+b\)，とすると題意より．
$$P(x)=(x+1)Q_1(x)+1$$
$$P(x)=(x-4)Q_2(x)+16$$
$$P(x)=(x^2-3x-4)Q(x)+ax+b=(x+1)(x-4)Q(x)+ax+b$$
\(P(-1)=6，P(4)=16\)より
$$-a+b=1\cdots\cdots ①$$
$$4a+b=16 \cdots\cdots ②$$
①より\(b=a+1 \cdots\cdots ③\)，これを②へ代入する．
$$4a+a+1=16$$
$$∴ a=3$$
③へ代入して\(b=4\)
よって，求める余りは \(3x+4\)
問題34
題意より\(P(x)\)を\(Q(x)\)で割ったときの商を\(x^1+1\)，余りを\(R(x)\)とすると
$$P(x)=Q(x)(x^2+1) +R(x) \cdots\cdots ①$$
$$R(x)=x^3+x \cdots\cdots ②$$
ここで，\(R(x)\)を\(x^2+1\)で割ると，（理由は後述）
$$R(x)=(x^2+1)x+x$$
よって，①は
$$P(x)=(x^2+1)Q(x) + (x^2+1)x+x$$
$$P(x)=(x^2+1)\{Q(x)+x\}+x \cdots\cdots ③$$
③式を見ると\(P(x)\)を\(x^2+1\)で割ったときの商が\(\{Q(x)+x\}\)余りが\(x\)を表現する式になっている．
よって求める余りは \(x\)
余りを更に割る。
「余り」を割るって，どういうことですか。
15=4×3+3 だよね．元の数は割る数ｘ商＋余り だから．
当然です．それくらい，わかりますよ．
15を2で割り算すると．15=2×7+1 であまりが1 だよね．では，最初に戻って，余りの3を2で割り算すると余りが1になります．4×3の4は2でわりきれるからね．
なるほどねぇ．
では，次の問題をやってみようか．
\(P(x)\) を\(x^2+x+1\)で割ると余りはx+1，
\((x-1)\)で割ると余りは11
\(P(x)\)を\((x^3-1)\) で割った余りを求めなさい．
（フォーカスゴールド数II）
問題35
\(P(x)\)を\(x-2\)で割ったときの商を\(Q(x)\)とすると
$$P(x)=(x-2)Q(x)+4 \cdots\cdots ①$$
商\(Q(x)\)を\(x+3\)で割ったときの余りが\(3\)なので，このときの商を\(q(x)\) とすると
$$Q(x)=(x+3)q(x)+3 \cdots\cdots ②$$
②式を①に代入して整理すると
$$P(x)=(x-2)\{(x+3)q(x)+3\}+4$$
$$=(x-2)(x+3)q(x)+3(x-2)+4$$
$$=(x^2+x-6)q(x)+3x-2$$
この式は\(P(x)\)を\((x^2+x-6)\)で割ったときの商が\(q(x)\) で余りが \(3x-2\) ということを示している．
\(x+3\) で割ったときの余りは\(P(-3)\)で求めることができる．
$$P(-3)=(x-2)(-3+3)q(-3) +3\times (-3) -2$$
$$P(-3)=-9-2=-11$$
もしくは \(3x-2\)を\(x+3\)で割り算して，余り\(-11\) を求めることもできる．
