因数分解のポイント
次の順序で考えると良いでしょう．慣れることも必要です．
- 共通因数でくくる
- 低次の項で整理する
- 公式の利用（公式が利用できるように式を誘導する）
- 置き換え，組み合わせを考える
- \(a^2 -b^2\)の形へ持ち込む
- 因数定理の利用
改訂 問題９ 旧版の問題８と同じ，使われている文字が違うだけ
(1) \(a\)が共通因数なので，\(a\)で括りましょう．
$$与式=a(4a^2-9b^2)$$
式を眺めると \(x^2-y^2\)の公式に持ち込めることがわかります．
$$=a\{(2a)^2-(3b)^2\}$$
$$=a(2a-3b)(2a+3b)$$
(2) 式中の全ての文字が一次なので，どれか一つに着目して整理します．
\(b\)について整理すると
$$与式=(a-1)b – ac + c$$
3番目と４番目の項を\(c\)でくくると\((a-1)\)が現れることに気がつくと思います．
$$与式=(a-1)b – ac + c=(a-1)b-(a-1)c$$
今度は\((a-1)\)が共通因数です．
$$与式=(a-1)b – ac + c=(a-1)b-(a-1)c=(a-1)(b-c)$$
これが求める答えです．
（３）式を眺めて，\(8=2^3\)，\(27=3^3\)に気づいてください．覚えておきましょう．
$$与式=(2a)^3+(3)^3$$
となり，公式を適用することができるようになります．
$$与式=(2a)^3+(3)^3=(2a+3)\{(2a)^2+2a\times 3 +3^3\}=(2a+3)(4a^2-6a+9)$$
（４）最初の３つの項が因数分解できて\((x+y)^2\)となり，\(a^2-b^2\)の形になることを見通してください．
$$与式=(x^2+2xy+y^2)- z^2=(x+y)^2-z^2$$
$$=\{(x+y)+z\}\{(x+y)-z\}=(x+y+z)(x+y-z)$$
改訂 問題１０ \(x^2+(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\)の使い方
（１）掛けて\(6\)，足して\(-5\)になる組み合わせを探す．
\(-3\)と\(-2\)が見つかる．というかすぐに浮かぶように練習しておきましょう．
よって
$$与式=(x-2)(x-3)$$
（２）掛けて\(-30\)，足して\(-7\)になる組み合わせを探す．
\(-10\)と\(+3\)を思いつきますね．よって
$$与式=(x-10)(x+3)$$
改訂 問題１１ たすきがけの問題
たすきがけの説明は旧版の問題10のところに説明を少ししておきました．スクロールして読んでください．たすきがけの説明は黒板に書きながら説明するのが，説明しやすいので，代わりに動画にリンクを貼っておきます．１２分程度です．
日本のやり方とはちょっと違いますが，面白いですよ．
（１）2次の項の係数は\(6\)なので\(1と6\)，\(2と3\)，定数項は\(5\)なので\(1と5\)ですね．そうすると\(3\times 5=15\)と\(1\times 2=2\)で\(15+2=17\)になる組み合わせがわかります．
よって
$$与式=(3x+1)(2x+5)$$
（２）2次の項の係数は\(3\)なので\(1と3\)，定数項は\(4\)なので\(1と4\)，\(2と2\)ですね．そうすると\(3\times 2=6\)と\(1\times 2=2\)で\(6-2=4\)になる組み合わせがわかります．
よって
$$与式=(3x-2)(x+2)$$
改訂 問題１２ これは計算の工夫が問われている問題です．
因数分解のポイントの『置き換え，組み合わせを考える』です．
（１）計算の工夫，例えば\(x^2=X\)とおくと，
$$与式=X^2-4^2=(X+4)(X-4)$$
\(X\)を元に戻すと
$$=(x^2+4)(x^2-4)$$
\(x^2-4\)はさらに因数分解できますね．
よって，求める解は
$$x^4-16=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$
（２）\(x-y\)を\(X\)とおいてみましょう．
$$与式=X^2 + 2X -15$$
\(X\)に着目して因数分解は簡単にできますよね．\(3と5\)です．そうすると
$$与式=X^2 + 2X -15=(X+5)(X-3)$$
\(X\)を元に戻して
$$与式=\{(x-y)+5\}\{(x-y)-3\}=(x-y+5)(x-y-3)$$
（３）２つの方法が浮かびます．
（解１） 直感的な方法は第１項，第２項と第３項で\((x+y)^2\)が，第４項と第５項で\(-3(x+y)\)となることが見えます．そこで\((x+y)\)をひとかたまりで考えて因数分解する方法が見えますね．
$$与式=(x+y)^2-3(x+y)+2=\{(x+y)-2\}\{(x+y)-1\}=(x+y-2)(x+y-1)$$
（解２） 因数分解のポイントに掲げた方法にしたがって，まず\(x\)について整理する．
与式は \(x^2 + (2y-3)x + y^2 – 3y + 2\) となります． ここからは
$$与式=x^2 + (2y-3)x + y^2 – 3y + 2=x^2 + (2y-3)x +(y-2)(y-1)$$
$$=\{x+(y-2)\}\{x+(y-1)\}=(x+y-2)(x+y-1)$$
（５）
（その１）$$与式=2x^2+(5y-3)x+3y^2-5y-2=2x^2+(5y-3)x+(3y+1)(y-2)$$
\(2と1\)，\((3y+1)と(y-2)\)の組み合わせで\((5y-3)\)を作り出せば良い．
$$=2x^2+(5y-3)x+(3y+1)(y-2)=\{2x+(□)\}\{x+(○)\}$$
ここで，□と○に入るのは\((3y+1)と(y-2)\)のそれぞれですから，頭をひねって
$$与式=2x^2+(5y-3)x+(3y+1)(y-2)=\{2x+(3y+1)\}\{x+(y-2)\}$$
$$与式=(2x+3y+1)(x+y-2)$$
（その２）前問にならって最初の３項を因数分解してみる．
$$与式=(2x+3y)(x+y)-(3x+5y)-2$$
これからいろいろとトライしてみましたが，挫折しました．どなたか，お分かりの方がいらっしゃいましたら，ご教示頂けると喜びます．roz
（その３）\(y\)について整理してみます．
$$与式=3y^2+(5x-5)y+2x^2-3x-2=3y^2+(5x-5)y+(2x+1)(x-2)$$
\(3と1\)，\((2x+1)と(x-2)\)の組み合わせで\((5x-5)\)を作り出せば良いことがわかります．\(5x\)は\(3x+2x\)とするか\(6x-x\)で考えました．これは\(3と1\)があるからですね．
よって
$$3y^2+(5x-5)y+(2x+1)(x-2)=\{3y+(2x+1)\}\{y+(x-2)\}$$
$$=(3y+2x+1)(y+x-2)=(2x+3y+1)(x+y-2)$$
以下は旧版の問題解説です．
問題８ 共通因数，低次の項，公式の利用
(1) 共通因数でくくる．
共通因数として\(x^2\)があるのででくくると
$$4x^3 – 9x^2y = x^2(4x – 9y)$$ となる．
(2) 低次の項で整理する．
\(a\)で整理すると\((b-c)a-b+c\),
次に\(b-c\)を括弧で閉じると\((b-c)a-(b-c)\)となる．
共通因数\((b-c)\)でくくる
答えは\((b-c)(a-1)\)
(3) 公式に持ち込む．
\(8 = 2^3，27=3^3\)なので，
与式は \(2^3x^3 + 3^3 = (2x)^3 +(3)^3\) となり\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)が使える．
よって，$$8x^3+27=(2x)^3+(3)^3=(2x+3)(4x^2-6x+9)$$
(4) \(x\)で見やすいように整理してみる．
\(x^2 + 2yx + y^2-z^2\) となり，\(y^2-z^2=(y+z)(y-z)\)だから
与式は\(x^2+2yx+(y+z)(y-z)\)となり，公式の定数項に相当する部分は\(y+z+y-z=2y\)だから
与式は \((x+(y+z))(x+(y-z))= (x+y+z)(x+y-z)\) と因数分解できる．
問題９ 公式 \(x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)\)の活用
(1) 与式は\(x^2 +(3+2)x+3\times 2\)と見なせるから，
与式\(=(x+3)(x+2)\)と因数分解できる．
(2) 与式は\(x^2 +(-10+2)x+(-10)\times (+)2\)と見なせるから，
与式\(=(x-10)(x+2)\)と因数分解できる．
問題１０ たすきがけ
\(acx^2 + (ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)\)に必要な「たすきがけ」
たすきがけは，2次の項の係数と定数項に着目することが重要ポイントである．例えば，\(12x^2 + 5x – 2\)の場合，2次の項の係数は12なので \(1\times 12, 2\times 6, 3\times 4\) の３つ，定数項は \(1\times 2\)の一つである．でそれぞれの組み合わせを考えれば良い．
(1) ２次の項より\(1\)と\(3\)，定数項より \(5\)と\(3\)で考えれば良いことがわかる．正負を適切に考えて\(+4\)となるような組み合わせを探しだします．
そうすると\(3\)と\(1\)，\(-5\)と\(3\)を見つけることができる．
よって，与式\(=(3x-5)(x+3)\) となる
(2) \(x\)について見ていくと，2次の係数は\(12\)， 1次の係数は\(5y\)，定数項は\(-2y^2\)である．そうすると\(3\)と\(4\)，\(2y\)と\(-y\)が見つかる．
よって，与式\(=(3x+2y)(4x-y)\) と因数分解できる．
問題１１．\(a^2-b^2\)の形，置き換え，たすき掛けの応用
(1) \(16x^4\)は\((4x^2)^2\)すると，\(a^2-b^2\)の形に誘導できる．
よって，与式\(=(4x^2)^2-(1)^2\)なり，
$$(4x^2)^2 – (1)^2 = (4x^2+1)(4x^2-1)$$
\(4x^2 – 1\)は更に因数分解できる．
$$(4x^2+1)(4x^2-1)=(4x^2 + 1)(2x + 1)(2x – 1)$$
(2) \(x-y=t\)とおいてみよう．
与式\(t^2 – 3t -10\)となり，これは公式を利用して\((t-5)(t+2)\)と因数分解できる．tを元に戻すと
与式\(= (x-y-5)(x-y+2)\)
(3) \(x\)も\(y\)もともに2次であるので\(x\)に着目して整理する．
与式\(=x^2 +(2y + 3)x + y^2 + 3y +2\)
問題 19 式を眺めると因数定理をつかって，，．
(1) \(f(x) = x^3 -7x -6\)とする．
$$ f(-1) =(- 1)^3 -7\times (-1) -6 = -1+7-6 =0$$
なので\(f(x)\)は\((x+1)\)を因数に持つことがわかる．つまり，\(x-1\) で割り切れる．よって，\(f(x)=(x+1)Q(x)\)と書ける．\(Q(x)\)は\(f(x)\)を\((x+1)\)で割ったときの商である．多項式の割り算（高次多項式を１次式で割り算する時）は組み立て除法を使うと便利です．
$$f(x) = (x+1)(x^2-x-6)$$
\((x^2-x-6)\)は更に\((X-3)(X+2)\)と因数分解できる．よって求める解は
$$x^3-7x-6=(x+1)(x-3)(x+2)$$
(2) 与式を\(f(x)=2x^3+x^2-8x-4\)とおく．
$$f(2)=2\times (2)^3 + (2)^2 – 8\times 2 – 4=0$$
なので，\(f(x)\)は\((x-2)\)を因数にもつので，\(f(x)\)を\((x-2)\)で割ると商\((2x^2+5x+2)\)が求まる．
$$f(x) = (x-2)(2x^2+5x+2)$$
(3) 与式\(f(x)=10x^3-13x^2-15x+18\)とおく．
$$(f(1) = 10\times (1)^3 – 13\times (1)^2 -15\times (1) +18 = 0$$
なので，\(f(x)\)を\((x-1)\)で割る．商は\((10x^2 – 3x -18))\) よって
$$f(x) = (x-1)(10x^2 – 3x -18)$$
\((10x^2 – 3x -18)\)は更に\((5x+6)(2x-3)\)と因数分解できてるので
求める解答は
$$ 10x^3-13x^2-15x+18 = (x-1)(5x+6)(2x-3)$$
である．
(4) 与式を\(f(x) = x^4 – 4x^3 + 10x^2 -17x + 10\)とおく．
$$f(1) = (1)^4 – 4\times (1)^3 + 10\times (1)^2 – 17 \times (1) + 10 = 0$$
なので，\((x-1)\)を因数に持つことがわかる．
よって，\(f(x)\)を\((x-1)\)で割ると，商は\(Q(x)=x^3 -3x^2+7x-10\)と求まるので，$$f(x) = (x-1)(x^3-3x^2+7x-10)$$
$$Q(2) = 2^3 -3\times (2)^2+7\times 2 – 10 = 0$$
より，\(Q(x) = (x-2)(x^2 – x + 5)\)なので
$$x^4-4x^2+10x^2-17x+10 = (x-1)(x-2)(x^2-x+5)$$
問題 22 ヒントを書いておきます
(1) \(3\)と\(9\)
(2) \(a\)は１次，\(b\)は２次なので\(a\)で整理する
(3) 共通因数\(3y\)でくくる
(4) \(8=2^3\)なので\(X^3-Y^3\)と考えられるので公式が適用可能
(5) \(a\)も\(b\)は２次なので\(a\)に着目して考える．たすき掛けは\(3\) と\(7\)の組み合わせ
(6) \(x\)も\(y\)は２次なので\(x\)に着目して考える．たすき掛けは\(4\) と\(3\)の組み合わせ
練習問題 次の式を因数分解しなさい
| (1) | \(x^2 + 3xy + 2y^2 + 4x + 7y + 3\) | (専修大学2011) |
| (2) | \(6x^2 + 5xy + y^2 + 2x – y -20\) | (2009年センター試験 数I Aより) |
| (3) | \(x^2 + (20 – a^2)x – 20a^2 \) | (2016年センター試験 数I Aより) |
| (4) | \(2x^2 + 5xy + 3y^2 – 3x – 5y -2\) | (2010 京都産業大学) |
| (5) | \((a + b)x^2 -2ax + a – b\) | (2006 北海学園大学) |
| (6) | \(x(y^2 – z^2) + y(z^2 – x^2) + z(x^2 – y^2)\) | (2001鹿児島経済大学) |
| (7) | \((x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) -3\) | (1996 九州東海大学) |
| (8) | \(x^4 + 4\) | (2006 中京大学) |
| (9) | \(x^4 + 5x^2 + 9\) | (2003 静岡理工科大学) |
| (10) | \((x-1)(x-3)(x+5)(x+7) – 960\) | (慶応高校2019) |
| (11) | \(3a^2 + 20ab – 7b^2\) |
