方程式

第２章第一節方程式のStep Up問題の解説を行います．

『解と係数』の関係で重要な対称式はについては次のリンクをご覧ください．（対称式）

問題97

（１）

\(\displaystyle{\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}}　\cdots\cdots ①\)

\(x^2 + y -3z  + 2 = 0　\cdots\cdots ②\)

比例式\(=k\)とするのは定跡ですよ．

\(\displaystyle{\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k}\)とおくと

\(x=2k，y=3k，z=4k　　\cdots\cdots　③\)となる．これを②式へ代入すると

\((2k)^2 + (3k) – 3(4k) + 2=0\)

これを\(k\)について解く

\(4k^2 – 9k + 2=0\)

\((4k-1)(k-2)=0　よって，k=\displaystyle\frac{1}{4} または k=2\)

これを③へ代入して

\(x=\displaystyle\frac{1}{2}，y=\displaystyle\frac{3}{4}，z=1\) または\(x=4，y=6，z=8\)

（２）

\(x^2+y^2=16 　\cdots\cdots　①\)

\(y=x^2 – 4　\cdots\cdots　②\)

②を①式へ代入する．

\(x^2 + (x^2 – 4)^2 = 16\)

\(x^4 – 7x^2 + 16 = 16\)

\(x^4 – 7x^2=0\)

\(x^2(x^2 – 7)=0\)

よって，\(x=0またはx=\pm\sqrt 7\)

\(x=0のときy=-4\)，\(x=\pm\sqrt 7のとき②によりy=3\)

問題98

（１）\(x^4 – 6x^2 +1=0\)

\(x^2=X\)とおく

\(X^2 – 6X + 1=0\)

\(X=\displaystyle\frac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}=\displaystyle{\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}}=\displaystyle{\frac{6\pm4\sqrt{2}}{2}}=3\pm2\sqrt 2\)

よって，\(x^2=3\pm2\sqrt 2\)

(a)　\(x^2=3+2\sqrt 2\)　のとき

\(x=\pm\sqrt{3+2\sqrt 2}=\pm\sqrt{(\sqrt 2 + 1)^2}\)

\(x=\pm\sqrt{3\pm2\sqrt 2}=\pm\sqrt{(\sqrt 2\pm1)^2}=\pm(\sqrt 2 +1)\)

よって，　\(x=+1+\sqrt 2\)　または　\(x=-1-\sqrt 2\)

(b)　\(x^2=3-2\sqrt 2\)　のとき

\(x=\pm\sqrt{3-2\sqrt 2}=\pm\sqrt{(\sqrt 2 – 1)^2}=\pm(\sqrt 2 – 1)\)

よって，　\(x=-1+\sqrt 2\)　または　\(x=+1-\sqrt 2\)

(a)と(b)の結果をまとめて

\(x=+1\pm\sqrt 2\)，\(x=-1\pm\sqrt 2\)

（４）\(x^4+x^2+1=0\)

[アプローチ１]

\(X=x^2\)とおくと

\(X^2+X+1=0\) を解けば良い．因数分解できないので解の公式を使って

\(X=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}　よってX=\displaystyle{\frac{-1+\sqrt 3 i}{2}}またはX=\displaystyle{\frac{-1-\sqrt 3 i}{2}}\)　

\(X\) をもとにもどして

\(x^2=\displaystyle{\frac{-1+\sqrt 3 i}{2}}，x^2=\displaystyle{\frac{-1-\sqrt 3 i}{2}}\)

(a) \(x^2=\displaystyle{\frac{-1+\sqrt 3 i}{2}}\)のとき

\(x=\pm\displaystyle{\sqrt{\frac{-1+\sqrt 3 i}{2}}}\)

よって\(x=\displaystyle{\frac{-1+\sqrt 3 i}{2}} または　x=\displaystyle{\frac{1-\sqrt 3 i}{2}}\)

(b) \(x^2=\displaystyle{\frac{-1-\sqrt 3 i}{2}}\)のとき

二重根号になっている，根号の中が複素数になっている，などの理由から方針変更しましょう．

[アプローチ２]

$$x^4+x^2+1=0$$

$$x^4 + 2x^2 + 1 -x^2=0$$

$$(x^2+1)^2 -x^2$$

$$(x^2+x+1)(x^2-x+1=0)$$

\(x^2+x+1=0 　または　x^2-x+1=0\)　

解の公式を使って，２つの２次方程式を解くと

\(x=\displaystyle{\frac{-1\pm\sqrt 3 i}{2}}\)　または　\(x=\displaystyle{\frac{+1\pm\sqrt 3 i}{2}}\)

これをヒントに次の問題にチャレンジしてみて下さい．

チャレンジ問題  「１の３乗根」については数学こぼれ話に記事を書いておきます．

1の３乗根  へのリンク

\(x^3 = 1\)の虚数解は　\(x=\displaystyle{\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}}\)　である．いずれか一方を\(\omega\)　として，次の値を求めなさい．

(ィ)　 \(\omega^2\)

(ロ)　\(\omega^2 + \omega + 1\)

(ハ)　\(\omega^{100} + \omega^{99} + \omega^{98}\)

(二)　\(\omega^{10} + \omega^5\)

問題99　分数方程式

これは分数方程式の問題ですね．方針１：分母を１にして，分数式でなくする．方針２：両辺をそれぞれ通分して\(\displaystyle{\frac{B}{A}=\frac{D}{C}} \Leftrightarrow AD=BC\)を利用する．結局は分数式をなくしていることになります．

（１）

全ての項の分母を因数分解して見通しよくする．

第１項　\(x^2-3x=x(x-3)\)

第２項　\(x^2+x=x(x+1)\)

第３項　\(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\)

第４項　\((x+1)\)　因数分解は不要

与式の両辺に\(x(x+1)(x-3)\)を掛ける

\({3(x+1)}-(x+2)(x-3)-x(17x+1)=3x^2(x-3)\)

展開する．\(3x+3-(x^2-x-6)-(17x^2+x)=3x^3-9x^2\)

左辺に移行して整理すると

\(3x^3 +9x^2 – 3x – 9=0\)

\(x^3+3x^2-x-3=0\)

\(f(x)=x^3 +3x^2 – x – 3\)とおく．\(f(-3)=-27+27+3-3=0\)よって　\(f(x)は (x+3)\)を因数に持つ．

\(f(x)=(x+3)(x^2-1)=(x+3)(x+1)(x-1)\)

よって，\(x=-3，-1，1\)　が求まる．

また，分母\(\ne 0\)　より，\(x\ne 0，x\ne -1，x\ne 3\)

よって，求める解は\(x=-3，1\)　である．

（２）

\(\sqrt{3x-5}+10=2x\)

\(\sqrt{3x-5}=2x-10　\cdots\cdots　①\)

両辺を2乗して，\(3x-5=(2x-10)^2\)

\(3x-5=4x^2-40x+100 \Leftrightarrow 4x^2-43x+105=0\)

因数分解して\((4x-15)(x-7)=0\)

これより，\(x=\displaystyle{\frac{15}{4}}，x=7\)　

これらを②式に代入して調べる．

(A) \(x=\displaystyle{\frac{15}{4}}\)の場合

②式の左辺 \(\sqrt{3\times \displaystyle\frac{15}{4}-5}=\displaystyle{\sqrt{\frac{45}{4}-5}}=\displaystyle{\sqrt{\frac{25}{4}}}=\frac{5}{2}\)

②式の右辺　\(2\displaystyle{\frac{15}{4}-10}=\displaystyle\frac{15}{2}-10=-\frac{5}{2}\)

左辺\(\ne\)右辺なので\(x=\frac{15}{4}\)は解ではない．

(B) \(x=7\)の場合

②式の左辺 \(\sqrt{3\times 7-5}=\sqrt{16}=4\)

②式の右辺　\(2\times7-10=4\)

左辺\(=\)右辺なので\(x=7\)は解である．

（注意）両辺を平方したことことに起因している．つまり，(\sqrt{3x-5}=2x-10 と-\sqrt{3x-5}=2x-10\)の場合がある．別な視点からの説明としては，①式において根号には正負の記号がついていない，ということは正を意味している．つまり\(\sqrt{3x-5}=2x-10\ge 0\) これを解の判定条件に利用できる．

\(x=\displaystyle{\frac{15}{4}}\)を\(2x-10\) に代入して調べると\(\displaystyle{2\frac{15}{4} – 10}=\displaystyle{\frac{15}{2}}-10<0\)なので解の条件を満たしていないことがわかる．

（３）

\(\sqrt{x-1}+2=\sqrt{2x+5}\) を解く．これより\(x\ge 1，x\ge -\displaystyle\frac{5}{2}\)　両方を満たすためには

\(x \ge 1　\cdots\cdots　①\)

である．

両辺を２乗する． 平方根を２乗するときは\(-\sqrt{2x+5}\)の場合もあることに注意．

\(x-1+4\sqrt{x-1}+4=2x+5\)

 整理して

\(x+2=4\sqrt{x-1}\)

もう一度，両辺を２乗する．平方根の２乗には注意する．

\(x^2+4x+4=16(x-1)\)

\(x^2-12x+20=0\)

\((x-2)(x-10)=0\) よって\(x=2，10\)　ともに条件①を満たしている．また，\(\sqrt{x-1}+2=\sqrt{2x+5}\) も満たしている．

問題100

静水での船の速度を\(x[km/h]>3\)とすると，

下りに要する時間は\(\displaystyle\frac{60}{x+3}\)

上りに要する時間は\(\displaystyle{\frac{60}{x-3}}\)

上りは下りよりも５時間多く要しているので

\(\displaystyle\frac{60}{x+3}+5=\displaystyle{\frac{60}{x-3}}\)

両辺に\((x+3)(x-3)\) を掛ける．

\(5(x+3)(x-3)+60(x-3)=60(x+3)\)

展開して整理すると

\(x^2-81=0\)

\((x-9)(x+9)=0\)

\(x>3\)より求める船の速度は\(9[km/h]\)

問題101

比例式を\(k\)とおく．これは定跡ですね．  証明すべき式より\(x，y，z\)が消えて\(a，b，c\)だけの式になる．また，\(a，b，c\)の循環系になりそうという見通しが得られる．

\(\displaystyle{\frac{x}{b-c}=\frac{y}{c-a}=\frac{z}{a-b}=k}\)とおくと

\(x=(b-c)k，y=(c-a)k，z=(a-b)k\)

左辺に代入する

左辺\(=(b+c)(b-c)k+(c+a)(c-a)k+(a+b)(a-b)k\)

　　\(=k\times (b^2-c^2 + c^2-a^2 + a^2 – b^2)\)

　　\(=k\times (0)\)

　　\(=0\)

∴左辺\(=\)右辺

問題102

解が\(-1，2\)なので，これらの値は方程式を満足するので，代入する．

\((-1)^4 -4a(-1)^3 +b(-1)+a(-1)-24=0\)

\(3a+b-23=0　\cdots\cdots ①\)

\(2^4-4a2^3+b2^2+2a-24=0\)

\(-15a+2b+-4=0　\cdots\cdots ②\)

①より\(b=23-3a \cdots\cdots ③\)

③を②へ代入する

\(-15a+2(23-3a)-4=0\)

これより　\(a=2\)

③に代入して　\(b=23-6=17\)

\(a=2，b=17\)の値を元の式に代入して整理すると

\(x^4-8x^3+17x^2+2x-24=0\)を得る．これが\(x=-11\)と\(x=2\)という解を持つことから\(x^2-x-2\)で割り切れる．割り算を行うと

商　\(x^2-7x+12\)を得る．これを因数分解して\((x-3)(x-4)\)

よってもとの方程式は

\((x+1)(x-2)(x-3)(x-4)=0\)　となり，残る２つの解は

\(x=3，x=4\)  である．

問題103

（アプローチ１）

題意より

\(x^3+2x^2+ax+b=(x^2-2x+1)Q(x) + ax+b，ax+b=0\)

割り算を行って，

与式\(=(x^2-2x+1)(x+4)+(a+7)x+b-4\)となる．

ここで，余りは\((a+7)x+b=0\)となり，これは恒等式なので，\((a+7)=0，b-4=0\)が成立する．

∴\(a=-7，b=4\)

（アプローチ２）

題意より

\(x^3+2x^2+ax+b=(x-1)^2Q(x) \cdots\cdots ①\)

\(x^3+2x^2+ax+b=x^2Q(x)-2xQ(x)+Q(x)\)

両辺を\(x\)で微分して整理すると

\(3x^2+4x+a=(x-1)^2Q(x)\)

\(x=1\)を代入して

\(3+4+a=0\)

\(a=-7\)

①式に(\x=1\)を代入して

\(1+2+a+b=0\)　これに\(a=-7\)を代入して\(b=4\)

よって求める解は\(a=-7，b=4\)

問題104

別記事の1の３乗根 を先の読んで下さい．

（１）\(\omega^12\)

与式\(=(\omega^3)^4=1\)

（２）\(\omega^8+\omega^4\)

与式\(=(\omega^3\times \omega^3\times \omega^2)+\omega^3\times \omega=\omega^2+\omega=-1\)