1の３乗根

 \(x^3-1=0\)の根（解）についての面白い性質

\(x^3-1=0　\Leftrightarrow 　(x-1)(x^2+x+1)=0\)　なので，

\(x-1=0\) または　\(x^2+x+1=0\)　である．これを解くと

\(x=1\)　または　\(x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt 3 i}{2}\)，\(x=\displaystyle\frac{-1-\sqrt 3 i}{2}\)

虚数解の一つを　\(\omega\)　で表すと，１の３乗根（解）は　\(1，\omega，\omega^2\)　と書ける．１の３乗根の虚数解を\(\omega\)で表すのは慣例のようですよ．覚えておきましょう．

(1)　\(\omega = \displaystyle\frac{-1+\sqrt 3 i}{2}\)　とすると

\(\omega^2 = \displaystyle\left(\frac{-1+\sqrt 3 i}{2}\right)^2=\displaystyle{\frac{1-2\sqrt3i-3}{4}}=\frac{-1-\sqrt3i}{2}=\overline\omega\)　

(2)　\(\omega = \displaystyle\frac{-1-\sqrt 3 i}{2}\)　とすると

\(\omega^2 = \displaystyle\left(\frac{-1-\sqrt 3 i}{2}\right)^2=\displaystyle{\frac{1+2\sqrt3i-3}{4}}=\frac{-1+\sqrt3i}{2}=\overline\omega\)　

つまり，　\(\displaystyle\frac{-1+\sqrt 3 i}{2}，\displaystyle\frac{-1-\sqrt 3 i}{2}\)のどちらを\(\omega\)とおいても，１の３乗根（解）は　\(1，\omega，\omega^2\)　と書けることが証明できた．

問２　\(\omega^2  = \displaystyle\frac{1}{\omega}=\overline\omega\)を確かめなさい

問１　\(|\omega|=1\)　となることを確かめなさい．

多項式の因数分解への適用

多項式\(f(x)\)において\(f(\omega)=f(\omega^2)=0\)が成立する時，\(f(x)\)は\(x^2+x+1\)を因数に持つ，つまり\(f(x)\)は\(x^2+x+1\)で割り切れる．

改訂　７ページ　の例題に適用

（２）にこの考えを適用してみましょう．

\(f(x)=x^4+x^2+1\)とおく．

\(f(\omega)=(\omega)^4+(\omega)^2 + 1 =  (\omega)^3\times \omega + \omega^2 + 1=\omega^2+\omega + 1=0\)

\(f(\omega^2)=(\omega^2)^4+(\omega^2)^2 + 1=\omega^8+\omega^4+1=(\omega^3)^2\omega^2+\omega^3\omega+1\)

　\(=\omega^2+\omega+1=0\)

よって，\(f(x)\)は\((x-\omega)(x-\omega^2)=x^2+x+1\)で割り切れる．

割り算をおこなって，

与式\(=(x^2+x+1)(x^2-x+1)\)

練習　\(x^5+x+1\)，\(x^7+x^2+1\)　を因数分解しなさい

幾何学的な意味

１の３乗根の３つを複素座標系にプロットしたものを図１に示しています．これは半径を１とする単位円周上を3頭分する点に相当します．黒丸，赤丸，緑丸にそれぞれ\(P_1，P_2，P_3\) と名前をつけて座標を表すと\(P_1(1,0)，P_2\displaystyle{(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt3 i}{2}})，P_3\displaystyle{(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3i}{2})}\)となる．

fig_omega-crop-1

ここで，各点間の距離を求めると，

\(|P_1P_2|=|P_2P_3|=|P_3P_1|\)

であることがわかります．二点間の距離はどうやって求めれば良いか，既に学習していますよね，計算してみて下さい．

正三角形ですね．つまり\(\angle{P_1OP_2}=\angle{P_2OP_3}=\angle{P_3OP_1}\)

この性質を拡張すると\(n\)乗根も簡単に求めることができます．続きは皆さんが三角関数を学習するころに書きたいと思います．