論理関数
関数は入力データに何らかの処理を行い，その結果を出力する装置とみなすことができる．したがって論理関数とは論理値（０か１）を入力として，出力も同様に論理値である．この時，入力変数や出力変数は複数であっても構わない．
function-model-1-cropしたがって、論理関数の一般形は以下のように記述できる．
\(\mathbb{X} =\{(x_1, x_2, \cdots , x_n)\}\) 入力変数
\(y = f_i(\mathbb{X}) ここで i = 1,\cdots ,k\)
リテラルと項
論理変数\(x\)は二つのリテラル(literal)\(x\)と\(\overline{x}\)をもっている．各変数のリテラルをたかだか一つしか含まない論理積を項（Term）という．項は一つのリテラルだけから成り立つこともある．同様に，各変数のリテラルをたかだか一つしか含まない論理和を 和 という．和項は一つのリテラルから成り立つ場合もある．例えば，\(x_1\bar{x}_2x_3\)は項であり，\(x_1+\bar{x}_2\)は和項で
ある．
\(n\)個の変数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)について考えるとき，最小項(minterm)とは\(n\)個のリテラルの論理積で，各変数のリテラルが１個だけ含まれているものである． 最大項(maxterm)とは，n個のリテラルの論理和で，各変数のリテラルが１個だけ含まれているものである．
最小項展開(SOP: Sum Of Product)
\(n\)変数論理関数が最小項(\(n\)個のリテラルの論理積、ただしリテラルは全て異なる)の論理和で表現されているとき，それを\(f\)の最小項展開(minterm expansion, Sum Of Product)あるいは主加法標準形という．
たとえば，\(n=3\)のとき次の\(８\)個の最小項が存在する．変数名を\(x_1，x_2，x_3\) とすると，
\(\bar{x}_1\bar{x}_2\bar{x}_3，\bar{x}_1\bar{x}_2x_3，\bar{x}_1x_2\bar{x}_3，\bar{x}_1x_2x_3,，x_1\bar{x}_2\bar{x}_3，x_1\bar{x}_2x_3，x_1x_2\bar{x}_3，x_1x_2x_3 \) が最小項である．
任意の論理関数は，一意に最小項展開できる．
例えば，２変数の場合を例として説明すると \(f(x_1,x_2)\) を最小項を用いて記述すると，
$$f(x_1,x_2) = g_{00}\overline{x_1}\overline{x_2}+g_{01}\overline{x_1}{x_2}+g_{10}x_{1}\overline{x_2}+g_{11}x_1x_2$$
と記述できる．ここで，係数\(g_{00}， g_{01}，g_{10}，g_{11}\)は\(f(x_1,x_2)\)の変数\(x_1，x_2\)に0と1の値を代入することにより得られる．いま，\(g_{00}=f(0,0)，g_{01}=f(0,1)， g_{10}=f(1,0)， g_{11}=f(1,1)\)が得られると\(f(x_1,x_2)\)の最小項展開は$$f(x_1,x_2)=f(0,0)\bar{x}_1\bar{x}_2+f(0,1)\bar{x}_1x_2+f(1,0)x_1\bar{x}_2+f(1,1)x_1x_2$$
で求めることができる．
係数\(f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1)\)は\(x_1\)と\(x_2\)の値の組合せのそれぞれに対して\(f(x_1,x_2)\)の論理式が具体的に与えられると，一意に定まる．
例えば，\(f(x_1,x_2)=x_1+x_2\)ならば\(f(0,0)=0\)，\(f(0,1)=1\)，\(f(1,0)=1\)，\(f(1,1)=1\)とすると，\(f(x_1,x_2)=x_1+x_2\)の最小項展開は
\(f(x_1, x_2) = f(0,0)\bar{x}_1\bar{x}_2+f(0,1)\bar{x}_1x_2+f(1,0)x_1\bar{x}_2+f(1,1)x_1x_2\)
\(=0\cdot \bar{x}_1\bar{x}_2+1\cdot \bar{x}_1x_2+1\cdot x_1\bar{x}_2+1\cdot x_1x_2\) \(=\bar{x}_1x_2+ x_1\bar{x}_2+x_1x_2\)
となる．
