問題83 係数を見出す問題
係数を見つける問題の解き方は，
１．左辺と右辺で次数の同じ\(x\)の係数が同じ値，を利用
２．\(=0\)の形にして，全ての係数が\(0\)という性質を利用
(1)
(アプローチ１)
\(x\)に関して同じ次数の係数を比較して
\(3=b，a=5，1=c\)が求まる．整理して\(a=5，b=3，c=1\)
(アプローチ2)
左辺に集める．\(3x^2+ax+1-(bx^2+5x+c)=0\)
整理して．\((b-3)3x^2+(a-5)x+(1-c)=0\)
恒等式という条件より，\(b-3=0，a-5=0，1-c=0\)である．これを解いて
\(a=5，b=3，c=1\)
問題84 計算が簡単になるような工夫が求められている問題
（１）
(アプローチ１)計算は複雑になるが丁寧にやっていけば解ける方法
右辺\(=a(x+1)(x+2)+b(x-1)+c=a(x^2+3x+2)+bx-b+c\)
\(=ax^2+(3a+b)x+(2a-b+c)\)
右辺の係数を比較して
\(a=2 \cdot\cdot ①\)
\(3a+b=3 \cdot\cdot ②\)
\(2a-b+c=6 \cdot\cdot ③\)
これを解きます．①を②式に代入する．\(3\times 2+b=3\) より\(b=-3 \cdot\cdot ④\)
①と④を③式に代入する．\(2\times 2-(-3)+c=6\) より\(c=-1\)
計算は予想したより簡単でしたね．
(アプローチ２)
『\(x\)にどんな値を代入しても成立する』という性質を利用する方法．
・両辺に\(x=1\)を代入する（\(b\)を消去できる）
\(2\times (1)^2+3\times (1) + 6 = a\times (1+1)\times (1+2) +b\times (1-1)+c\)
整理して
\(11=6a+c \cdot\cdot ①\)
・両辺に\(x=-1\)を代入する（\(a\)を消去できる）
\(2\times (-1)^2+3\times (-1) + 6 = a\times (-1+1)\times (-1+2) +b\times (-1-1)+c\)
\( 5 = -2b +c \cdot\cdot ②\)
・両辺に(x=-2)を代入する（未知数は３つなので条件式がもう一つ必要）
\(2\times (-2)^2+3\times (-2) + 6 = a\times (-2+1)\times (-2+2) +b\times (-2-1)+c\)
\( 8 = -3b+c \cdot\cdot ③\)
②\(-\)③ より \(b=-3\) \(b\)の値を②式へ代入して \(c=-1\)
\(c\)の値を①式に代入して\(a=2\)
よって求める\(a，b，c\)の値はそれぞれ\(a=2，b=-3，c=-1\)
（２）
右辺を展開して整理します．
右辺\(=(x^2+bx+2)(x+c)=(x^2+bx+2)x+(x^2+bx+2)c\)
\(=x^3+(b+c)x^2+(2+bc)x+c\)
左辺の係数を比較して
\(b+c=3 \cdot\cdot ①\)
\(2+bc=4 \cdot\cdot ②\)
\(2c=a \cdot\cdot ③\)
①より \(b=3-c \cdot\cdot ④\)
②式より \(bc=2\)，これに④を代入する
\((3-c)c=2\) これを解いて，\(c=2, c=1\)
・\(c=2\) のとき
③より\(a=4\)，①より\(b=1\)
・\(c=1\) のとき
③より\(a=2\)，①より\(b=2\)
よって，求める\(a，b，c\)の値はそれぞれ\(a=4，b=1，c=-2\)と\(a=2，b=2，c=1\)
問題85 両辺の分母を揃えると，分子にある式だけに着目すれば良い
（１）
右辺\(=\displaystyle{\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-3}=\displaystyle{\frac{a(x-3)}{(x-1)(x-3)}+\frac{b(x-1)}{(x-3)(x-1)}}}\)
\(=\displaystyle{\frac{a(x-3)+b(x-1)}{(x-1)(x-3)}}\)
\(=\displaystyle{\frac{(a+b)x+(-3a-b)}{(x-1)(x-3)}}\)
分子の係数比較を行うと
\(a+b=0，-3a-b=1\)これを解いて，\(a=-\displaystyle{\frac{1}{2}}，b=\displaystyle{\frac{1}{2}}\)
（２）
両辺の分母を眺めると\(x^3-1\)で揃えられることが分かる．
右辺の分子\(=a(x^2+x+1)+(bx+c)(x-1)\)
\(= (a+b)x^2+(a-b+c-8)x+a-c-1\)
係数を比較して
\(a+b=0\)
\(a-b+c=8\)
\(a-c=1\)
これを解いて \(a=3，b=-3，c=2\)
問題86 等式の証明
等式(\(A=B\))の証明，方法は３つ．
１．\(A\)から\(B\)を導き出す．(\(A \Rightarrow B\))
２．\(B\)から\(A\)を導き出す．(\(B \Rightarrow A\))
３．\(A-B=0\)を導き出す
右辺\(=(x+y)^3-3xy(x+y)=(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)-(3x^2y+3xy^2)\)
\(=x^3+y^3)\)
∴ 左辺\(=\)右辺
問題87
『(A-B=0)を導き出す』の応用ですね．まず\((左辺-右辺もしくは逆\)から\(P\times Q\)と式変形をおこなって\(PかQ\)が条件式\(a+b+c=0\)になっていれば(A-B=0)が証明できますね．
与式より 左辺\(-\)右辺として
\(a^2+ac-b^2-bc=(a-b)(a+b)+(a-b)c=(a-b)(a+b+c)\)
\(a+b+c=0\)より\((a-b)(a+b+c)=0\)である．
よって，左辺\(=\)右辺
問題94
（１）
右辺\(=b(x+1)^2+c(x+1)=bx^2+2bx+b+cx+c\)
\(=bx^2+(2b+c)x+b+c\)
左辺の係数を比較して
\(b=2\)
\(2b+c=3\)
\(a=b+c\)
これを解いて \(a=1，b=2，c=-1\)
（２）
両辺の分母を\((x+1)^2\)に揃えることができる．
左辺\(=\displaystyle{\frac{3x-1}{(x+1)^2}}\)
右辺\(=\displaystyle{\frac{a(x+1)}{(x+1)^2}+\frac{b}{(x+1)^2}}=\displaystyle{\frac{ax+a+b}{(x+1)^2}}\)
分子の係数を比較して
\(a=3\)
\(a+b=-1\) これより\(b=-4\)
求める\(a，b\)の値は \(a=3，b=-4\)
問題95
1の3乗根の虚数解の一つを\(\omega\)とすると
使えるように覚えておきましょう．
左辺\(=(x^3+1)(x^2+x+1)=(\omega^3+1)(\omega^2+\omega +1)=0\)
右辺\(=(x+1)(x^4+x^2+1)=(\omega+1)(\omega^4+\omega^2+1)\)
ここで，\(\omega^4+\omega^2+1=\omega^3\times \omega + \omega^2 +1=\omega^2+\omega +1=0\)
よって右辺\(=0\)
∴左辺\(=\)右辺
(アプローチ2)
両辺を展開して同じになることを示す．
左辺\(=(x^3+1)(x^2+x+1)=(x^2+x+1)x^3+(x^2+x+1)\)
\(=(x^5+x^4+x^3)+(x^2+x+1)=x^5+x^4+x^3+x^2+1\)
右辺\(=(x+1)(x^4+x^2+1)=(x^4+x^2+1)x+(x^4+x^2+1)\)
\(=x^5+x^3+x+x^4+x^2+1=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\)
∴左辺\(=\)右辺
問題96
(アプローチ1)
左辺の式を変型し右辺に誘導することにチャレンジします．
左辺\(=(x+y)(y+z)(z+x)=(xy+xz+y^2+yz)(z+x)\)
\(=(xy+xz+y^2+yz)z+(xy+xz+y^2+yz)x\)
\(=xyz+xz^2+y^2z+yz^2+x^2y+x^2z+xy^2+xyz\)
\(=(y+z)x^2 + (2yz+z^2+y^2)x+yz(y+z)\)
\(=(y+z)x^2 + (y+z)^2x+yz(y+z)\)
ここで，条件\(x+y+z=0\) より \(y+z=-x\)が得られ，これを上式に代入する．
左辺\(=(-x)x^2 + (-x)^2x+yz(-x)=-x^3 + x^3-xyz\)
\(=-xyz\)
よって，左辺\(=\)右辺
(アプローチ2)
条件式\(x+y+z=0\)より，\(x+y=-z，y+z=-z，z+x=-y\) を得る．これを左辺に代入する．
左辺=\((x+y)(y+z)(z+x)=(-x)(-z)(-y)=-xyz\)
よって，左辺\(=\)右辺
