ここでは3次関数とそのグラフについて説明します．
3次関数の基本形
\(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)が3次関数の基本形で\(a \ne 0\)です．3次方程式\(ax^3+bx^2+cx+d=0\)の解は3つありますが，全てが実数解となるわけではありません．では，そのことをグラフをつかって見ていきましょう．
3次関数のグラフ \(a>0\)とする．
3次関数のグラフは次の3つが基本形です．
fig_cubicfunction-1-crop(a) 山（極大値，極小値）が2つあります．極大値とは\(y\)の値が増加から減少に転じる値，極小値はその逆です．\(x\)の範囲に制限がなければ，解は3つあります．
fig_cubicfunction-2-crop(b) 極大値，極小値に相当する点は存在しませんが，\(y\)の値が増加が非常に小さくなり，それから徐々に大きくなる点がありますね．グラフの接線の傾きが\(0\) となる点です．
fig_cubicfunction-3-crop(c) 極大値，極小値に相当する点も，グラフの接線の傾きが\(0\) となる点も存在しません．
注目点が一つ，\(x\)の範囲指定がなければ\(x\)軸と交わる点が少なくても一つはあることがグラフからも分かると思います．つまり，実数解を少なくても1つは有するということです．もちろん，\(x\)の範囲にもよります．
3次関数のグラフと\(x\)軸との交点について
\(x\)軸との位置関係によって下図に示されているように3通りが考えられる．\(x_0\)の場合は3点で交わっているので実数解を3個持つ．\(x_1\)と\(x_2\)の場合は交点が1個なので実数解は1つで，他は虚数解である．
fig_cubicfunction-cross-crop実数解を3個持つ場合は，さらに2つの場合があり，下図にその様子を示している．3個の実数解のうち2つが重解の場合である．
fig_cubicfunction-cross2-crop\(a<0\)のときの3次関数のグラフ
\(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)において\(a < 0\)の場合のグラフの基本形を下図に示しています．
fig_cubicfunction-4-crop\(y=0\)として解を求める場合は両辺に\(-1\) を乗じて解を求めても良いでしょう．不等式の場合は不等号の向きが変わるだけです．
