基礎的な知識や内容は２次関数とグラフを先に読んで下さい．早速，問題の解説に入っていきます．
問題143
\(f(x)=3x+1\)のときの，次の値を求める．
\(f(2)=3\times (2) +1 = 7\)，\(f(-2)=3\times (-2) +1 = -5\)，\(f(a+2)=3(a+2)+1=3a+7\)，\(f(a-2)=3(a-2)+1=3a-2\)
問題144
定義域とは関数への入力変数の取りうる値の全体からなる集合である．値域とは，その定義域に対する関数の出力値の値の集合である．関数が\(f(x)\)の場合，その変数は\(x\)なので定義域は\(x\)の範囲，出力は\(f(x)\)の取りうる値の範囲となります．下図をご覧ください．
fig_domain2-crop（１）
一次関数で変数の係数は正なので単調増加なので，\(\alpha \le x \le \beta\)のとき\(f(\alpha) \le f(x) \le f(\beta)\)である．
よって，定義域\(-1 \le x \le 2\)に対する値域は\(-1 \le y \le 5\)である．
（２）
同様に 定義域\(-1 \le x \le 1\)に対する値域は\(6 \ge y \ge 2\)
(1) ,(2) いずれも図は省略します．
問題145
基本は平方完成 \(y=a(x-p)^2+q\)
\(a>0\)の時は下に凸，\(a<0\)のときは上に凸
頂点の座標は\((p,q)\)
\(x\)軸と\(y\)軸との交点，頂点の座標，対象軸などは見やく記入
（１）\(y=x^2 – 1\)
下に凸，頂点の座標は\((0,-1)\)，\(x\)軸との交点は\(x=1, x=-1\)である．
グラフは次の通り．
fig_146-1-crop（２）\(y=-(x-1)^2\)
上に凸，頂点の座標は\((1,0)\)，頂点は\(x\)軸と接している．\(y\)軸との交点は\(-1\)．グラフは次の通りである．
fig_146-2-crop（3）\(y=3(x+1)^2-2\)
下に凸，頂点の座標は\((-1,-2)\)，\(x\)軸との交点は\(x=\displaystyle\frac{-2\pm\sqrt{6}}{3}\)，\(y\)軸との交点は\((0,-2)\)である．グラフは次の通り．
fig_146-3-crop（４）\(y=-\displaystyle\frac{1}{2}(x-2)^2 +2\)
上に凸，頂点の座標は\((2,2)\)，\(x\)軸との交点は\(x=0かつx=4\)で原点を通る．グラフは次の通り．
fig_146-4-crop問題146
関数（グラフ）の平行移動は２次関数とグラフに書いております．解答を導き出す考え方についてはご参照下さい．
・\(x\)軸方向に \(+a\) 移動の時は変数 \(x\) を \(x-a\) とする
・\(x\)軸方向に \(-a\) 移動の時は変数 \(x\) を \(x+a\) とする
・\(y\)軸方向に \(+b\) 移動の時は変数 \(y\) を \(y-b\) とする
・\(y\)軸方向に \(-b\) 移動の時は変数 \(y\) を \(y+b\) とする
（１）\(x\)軸方向への移動
\(y=2x^2\)は\(y=2(x-3)^2\)となる．
（２）\(x\)軸と\(y\)軸の両方を移動
\(y=2x^2\)は\(y-2=2(x-1)^2\)となる．よって，\(y=2(x-1)^2+2\)
（３）負の方向に移動
\(y=2x^2\)は\(y+1=2(x+2)^2\)となる．よって，\(y=2(x+2)^2-1\)
問題147
2次関数を平方完成をする練習ですね．簡単に求めるテクニックはありますが，先ずは丁寧に行う方法を身につけられることをお勧めします．
（１）\(y=x^2-2x+1\)
\(y=x^2-2x+1 = (x-1)^2\) これは簡単すぎますね．\((x-a)^2=x^2-2ax+1\)の展開公式の利用です．
\(p=1 ，q=0\)より頂点の座標は\((1,0)\)ですね．
\(x\)軸との交点は\(y=0\)として2次方程式を解けば求められます．この場合は簡単に\((1,0)\)で接していることがわかります．
\(y\)軸との交点は，\(x=0\)のときの\(y\)の値で求めます．\(y=0^2-2\times 0 + 1= 1\)
fig_147-1-crop（２）\(y=2x^2-4x+3\)
平方完成 アプローチ１
\(y=2(x^2-2x)+3=2(x^2-2x+1-1)+3=2\{(x-1)^2-1\}+3\)
\(=2(x-1)^2+1\)
平方完成 アプローチ２
\(p\)は，\(x^2\)の係数の逆数と\(x\)の係数を半分にしてから掛け合わせたものを括弧の中にいれます．\(\displaystyle{\frac{1}{2} \times( {-4}\times \frac{1}{2})}=-1\) となり，\(x-1)^2\)とします．
次は定数項を求めます．求めた先程の値と\(x\)の係数の半分とを掛けて定数項と引き算をします．
\(3 – (-1)\times (-2) = 1\) これが平方完成時の定数項になります．
よって，\(y=2(x-1)^2 + 1\)
グラフ作成のために
頂点の座標は\(1,1\)
対象軸\(x=1\)
\(x\) 軸との交点は，\(y=0\)としたときの判別式\(D=-8<0\)なので交点は持たない．
\(y\)軸との交点は\(x=0\)のときの\(y\)の値であるので，\(y=2\times (0-1)^2 + 1=3\)
fig_147-2-crop（３）\(y=-x^2+4x-3\)
先ずは平方完成形を求めます．
（アプローチ１）
\(y=-(x^2-4x)-3=-\{(x^2-4x+4) -4\}-3\)
\(=-\{(x-2)^2-4\}-3=-(x-2)^2+4-3\)\
\(=-(x-2)^2+1\)
（アプローチ２）
\(x^2\)の係数\(-1\)の逆数\(-1\)と\(x\)の係数の\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)の\(2\)を掛けると\((-1)\times (+2) = -2\)これが括弧の中に入る数である．よって，\(-(x-2)^2\)．
定数項は求めた\(-2\)と\(x\)の係数の\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)とを掛ける，\((-2) \times (+2)=-4\)
定数項引くこの値，\(-3-(-4)=-3+4=+1\) が平方完成のときの\(q\)である．
よって，\(y=-(x-2)^2 + 1\)
(グラフ作成)
頂点の座標は\((2,1)\)
\(y=0\)としたときの判別式\(D=\sqrt{16-12}=\sqrt{4}=2>0\)，よって重解を持つ．
\(y=0\)として方程式\(x^2-4x+3=0 \leftrightarrow (x-3)(x-1)=0\)を解くと \(x=3，x=1\)
\(y\)軸との交点は\((0,-3)\)
fig_147-3-crop（４）\(y=x^2-x-2\)
平方完成します．
（アプローチ１）
\(y=x^2-x-2=x^2-2\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)}x+\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^2} – \left(\frac{1}{2}\right)^2 -2\)
\(=\left(x-\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2-\displaystyle{\frac{1}{4}} – \displaystyle{\frac{8}{4}}\)
\(=\left(x-\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2-\displaystyle{\frac{9}{4}}\)
（アプローチ２）
\(■(x\pm□)^2\)
■に何が入るか\(x^2\)の係数は\(1\)なので■\(=1\)です．
□に何が入るか■\(\times 2\) として\(x\)の係数\(1\)を割ります．この場合は\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)になりますね．そうしますと，\(1\left(x-\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2=\left(x-\displaystyle\frac{1}{2} \right)^2\)
そうしますと，定数項には\(-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\)を加えておく必要がありますね．したがって
定数項\(=-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-2\)
\(=-\left(\displaystyle{\frac{1}{4}}+\displaystyle{\frac{8}{4}}\right)\)
\(=-\displaystyle{\frac{9}{4}}\)
求める平方完成は \(y=\left(x-\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2-\displaystyle{\frac{9}{4}}\)
説明は長いですが，この計算は暗算でできますね．平方完成が超簡単にできます．
（グラフ）
下に凸，
頂点の座標\(\left(\displaystyle{\frac{1}{2},-\frac{9}{4}}\right)\)，
\(x\)軸との交点は\(x=2とx=-1\)
\(y\)軸との交点は\(y=-2\)
fig_147-4-crop（５）\(y=-\frac{1}{2}x^2+x\)
結果を示しておきます．式変形は，後日にでも加筆します．
\(y=-\displaystyle{\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}}\)
上に凸
頂点の座標は \(\left(1, \displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
\(x\)軸との交点は\(x=0とx=2\)
\(y\)軸との交点は\(y=0\)
fig_147-5-crop（６）\(y=-2x^2-3x+2\)
平方完成を求める式変形を丁寧に記しておきます．
\(y=-2x^2-3x+2\)
\(=-2\left(x^2+\displaystyle\frac{3}{2}\right)+2\)
\(=-2\left\{x^2+2\times \displaystyle\frac{3}{4}x+\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 – \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 \right\}+2\)
\(=-2\left\{ \left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2\right\} + 2\)
\(=-2\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 +2\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 + 2\)
\(=-2\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 +2\left(\displaystyle\frac{9}{16}\right) + 2\)
\(=-2\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 +\left(\displaystyle\frac{9}{8}\right) + \displaystyle\frac{16}{8}\)
\(=-2\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 +\left(\displaystyle\frac{25}{8}\right) \cdots\cdots ①\)
①式より，
頂点の座標は \(\left(-\displaystyle{\frac{3}{4}},\displaystyle{\frac{25}{8}}\right)\)を上に凸とする放物線．
\(y\)軸との交点は \((0, 2)\)
\(x\)軸との交点は\(y=0\)として二次方程式を解けば良い．よって，交点の座標は\((-2,0), (\displaystyle\frac{1}{2},0)\)
fig_147-6-crop問題148
与えられた条件から二次式を求める問題ですね．二次式（二次関数）を\(y=ax^2+bx+c\)とおいて係数の\(a,b,c\)を求めるほうが簡単なのか，\(y=a(x-p)^2+q\) として\(a,p,q\)を求めるほうが簡単なのかは与えられる条件によります．
この問題では予め， 『二次関数\(y=a(x-p)^2+q\)』ということが書かれていますので，これは与えられた条件の一つになりますね．
（１）
この場合は，頂点の座標が与えられていますので，
\(y=a(x-p)^2+q \cdots\cdots ①\)とおきます．
①式において頂点の座標は\(p,q)\)なので，与えられた頂点の座標\((3,5)\)より
\(y=a(x-3)^2+5\)となります．
また，点\(0,-4)\)を通るという条件は，この値は①式を満たすことから①式に代入する．
\(-4=a(0-3)^2+5\)を得ます．これを解いて\(a\)を求めます．
\(-4=9a+5\)
\(9a=-9\)
\(a=-1\)
よって求める２次式は\(y=-(x-3)^2+5\)である．
（２）
頂点の座標が\(y\)軸上にあるということは，２次関数のグラフの対象軸が\(y\)軸なので，平方完成\(y=a(x-p)^2+q\)において\(p=0\)を意味している．
よって求める２次式を \(y=ax^2+q\) とおく．この二次関数は点\((-1,1) と(2,-5)\)を満たすのでそれぞれ代入して
\(1=a(-1)^2+q \Leftrightarrow a+q=1 \cdots\cdots ①\)
\(-5=a(2)^2+q \Leftrightarrow 4a+q=-5 \cdots\cdots ②\)
②\(-\)①
\(3a=-6 \Leftrightarrow a=-2\)
①式に代入して，\(q=3\)
よって求める２次関数は\(y=-2x^2+3\)
（３）
直線\(x=2\)が放物線の対象軸ですから，\(y=a(x-2)^2+q\)とおきます．
問題149
（１）
与えられた条件から，求める二次関数を\(y=ax^2+bx+c\)とおき，条件を利用して求めるのが良いと思われます．与えられている座標が計算が楽になるように見受けられます．
3点\((1,0),(0,3),(2,-1)\)を二次式\(y=ax^2+bx+c\)にそれぞれ代入します．
\(0=a+b+c \cdots\cdots ①\)
\(3=c\cdots\cdots ②\)
\(-1=a(2)^2+b(2)+c \Leftrightarrow -1=4a+2b+c \cdots\cdots ③\)
②の値を①式と③式へ代入する．
\(a+b=-3 \cdots\cdots ①’\)
\(-1=4a+2b+3 \Leftrightarrow 2a+b=-2 \cdots\cdots ③’\)
③’\(-\)①’ を行うと，\(a=1\)が得られる．
この\(a\)の値を①’式へ代入する．
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基礎的な知識や内容は２次関数とグラフを先に読んで下さい．早速，問題の解説に入っていきます．
問題143
\(f(x)=3x+1\)のときの，次の値を求める．
\(f(2)=3\times (2) +1 = 7\)，\(f(-2)=3\times (-2) +1 = -5\)，\(f(a+2)=3(a+2)+1=3a+7\)，\(f(a-2)=3(a-2)+1=3a-2\)
問題144
定義域とは関数への入力変数の取りうる値の全体からなる集合である．値域とは，その定義域に対する関数の出力値の値の集合である．関数が\(f(x)\)の場合，その変数は\(x\)なので定義域は\(x\)の範囲，出力は\(f(x)\)の取りうる値の範囲となります．下図をご覧ください．PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_domain2-crop.pdf
（１）
一次関数で変数の係数は正なので単調増加なので，\(\alpha \le x \le \beta\)のとき\(f(\alpha) \le f(x) \le f(\beta)\)である．
よって，定義域\(-1 \le x \le 2\)に対する値域は\(-1 \le y \le 5\)である．
（２）
同様に 定義域\(-1 \le x \le 1\)に対する値域は\(6 \ge y \ge 2\)
(1) ,(2) いずれも図は省略します．
問題145
グラフ
基本は平方完成 \(y=a(x-p)^2+q\)
\(a>0\)の時は下に凸，\(a<0\)のときは上に凸
頂点の座標は\((p,q)\)
\(x\)軸と\(y\)軸との交点，頂点の座標，対象軸などは見やく記入
（１）\(y=x^2 – 1\)
下に凸，頂点の座標は\((0,-1)\)，\(x\)軸との交点は\(x=1, x=-1\)である．
グラフは次の通り．PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_146-1-crop.pdf
（２）\(y=-(x-1)^2\)
上に凸，頂点の座標は\((1,0)\)，頂点は\(x\)軸と接している．\(y\)軸との交点は\(-1\)．グラフは次の通りである．PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_146-2-crop.pdf
（3）\(y=3(x+1)^2-2\)
下に凸，頂点の座標は\((-1,-2)\)，\(x\)軸との交点は\(x=\displaystyle\frac{-2\pm\sqrt{6}}{3}\)，\(y\)軸との交点は\((0,-2)\)である．グラフは次の通り．PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_146-3-crop.pdf
（４）\(y=-\displaystyle\frac{1}{2}(x-2)^2 +2\)
上に凸，頂点の座標は\((2,2)\)，\(x\)軸との交点は\(x=0かつx=4\)で原点を通る．グラフは次の通り．PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_146-4-crop.pdf
問題146
関数（グラフ）の平行移動は２次関数とグラフに書いております．解答を導き出す考え方についてはご参照下さい．
（１）\(x\)軸方向への移動
\(y=2x^2\)は\(y=2(x-3)^2\)となる．
（２）\(x\)軸と\(y\)軸の両方を移動
\(y=2x^2\)は\(y-2=2(x-1)^2\)となる．よって，\(y=2(x-1)^2+2\)
（３）負の方向に移動
\(y=2x^2\)は\(y+1=2(x+2)^2\)となる．よって，\(y=2(x+2)^2-1\)
問題147
2次関数を平方完成をする練習ですね．簡単に求めるテクニックはありますが，先ずは丁寧に行う方法を身につけられることをお勧めします．
（１）\(y=x^2-2x+1\)
\(y=x^2-2x+1 = (x-1)^2\) これは簡単すぎますね．\((x-a)^2=x^2-2ax+1\)の展開公式の利用です．
\(p=1 ，q=0\)より頂点の座標は\((1,0)\)ですね．
\(x\)軸との交点は\(y=0\)として2次方程式を解けば求められます．この場合は簡単に\((1,0)\)で接していることがわかります．
\(y\)軸との交点は，\(x=0\)のときの\(y\)の値で求めます．\(y=0^2-2\times 0 + 1= 1\)PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_147-1-crop.pdf
（２）\(y=2x^2-4x+3\)
平方完成 アプローチ１
\(y=2(x^2-2x)+3=2(x^2-2x+1-1)+3=2\{(x-1)^2-1\}+3\)
\(=2(x-1)^2+1\)
平方完成 アプローチ２
\(p\)は，\(x^2\)の係数の逆数と\(x\)の係数を半分にしてから掛け合わせたものを括弧の中にいれます．\(\displaystyle{\frac{1}{2} \times( {-4}\times \frac{1}{2})}=-1\) となり，\(x-1)^2\)とします．
次は定数項を求めます．求めた先程の値と\(x\)の係数の半分とを掛けて定数項と引き算をします．
\(3 – (-1)\times (-2) = 1\) これが平方完成時の定数項になります．
よって，\(y=2(x-1)^2 + 1\)
グラフ作成のために
頂点の座標は\(1,1\)
対象軸\(x=1\)
\(x\) 軸との交点は，\(y=0\)としたときの判別式\(D=-8<0\)なので交点は持たない．
\(y\)軸との交点は\(x=0\)のときの\(y\)の値であるので，\(y=2\times (0-1)^2 + 1=3\)PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_147-2-crop.pdf
（３）\(y=-x^2+4x-3\)
先ずは平方完成形を求めます．
（アプローチ１）
\(y=-(x^2-4x)-3=-\{(x^2-4x+4) -4\}-3\)
\(=-\{(x-2)^2-4\}-3=-(x-2)^2+4-3\)\
\(=-(x-2)^2+1\)
（アプローチ２）
\(x^2\)の係数\(-1\)の逆数\(-1\)と\(x\)の係数の\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)の\(2\)を掛けると\((-1)\times (+2) = -2\)これが括弧の中に入る数である．よって，\(-(x-2)^2\)．
定数項は求めた\(-2\)と\(x\)の係数の\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)とを掛ける，\((-2) \times (+2)=-4\)
定数項引くこの値，\(-3-(-4)=-3+4=+1\) が平方完成のときの\(q\)である．
よって，\(y=-(x-2)^2 + 1\)
(グラフ作成)
頂点の座標は\((2,1)\)
\(y=0\)としたときの判別式\(D=\sqrt{16-12}=\sqrt{4}=2>0\)，よって重解を持つ．
\(y=0\)として方程式\(x^2-4x+3=0 \leftrightarrow (x-3)(x-1)=0\)を解くと \(x=3，x=1\)
\(y\)軸との交点は\((0,-3)\)PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_147-3-crop.pdf
（４）\(y=x^2-x-2\)
平方完成します．
（アプローチ１）
\(y=x^2-x-2=x^2-2\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)}x+\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^2} – \left(\frac{1}{2}\right)^2 -2\)
\(=\left(x-\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2-\displaystyle{\frac{1}{4}} – \displaystyle{\frac{8}{4}}\)
\(=\left(x-\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2-\displaystyle{\frac{9}{4}}\)
（アプローチ２）
\(■(x\pm□)^2\)
■に何が入るか\(x^2\)の係数は\(1\)なので■\(=1\)です．
□に何が入るか■\(\times 2\) として\(x\)の係数\(1\)を割ります．この場合は\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)になりますね．そうしますと，\(1\left(x-\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2=\left(x-\displaystyle\frac{1}{2} \right)^2\)
そうしますと，定数項には\(-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\)を加えておく必要がありますね．したがって
定数項\(=-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-2\)
\(=-\left(\displaystyle{\frac{1}{4}}+\displaystyle{\frac{8}{4}}\right)\)
\(=-\displaystyle{\frac{9}{4}}\)
求める平方完成は \(y=\left(x-\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2-\displaystyle{\frac{9}{4}}\)
説明は長いですが，この計算は暗算でできますね．平方完成が超簡単にできます．
（グラフ）
下に凸，
頂点の座標\(\left(\displaystyle{\frac{1}{2},-\frac{9}{4}}\right)\)，
\(x\)軸との交点は\(x=2とx=-1\)
\(y\)軸との交点は\(y=-2\)PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_147-4-crop.pdf
（５）\(y=-\frac{1}{2}x^2+x\)
結果を示しておきます．式変形は，後日にでも加筆します．
\(y=-\displaystyle{\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}}\)
上に凸
頂点の座標は \(\left(1, \displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
\(x\)軸との交点は\(x=0とx=2\)
\(y\)軸との交点は\(y=0\)PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_147-5-crop.pdf
（６）\(y=-2x^2-3x+2\)
平方完成を求める式変形を丁寧に記しておきます．
\(y=-2x^2-3x+2\)
\(=-2\left(x^2+\displaystyle\frac{3}{2}\right)+2\)
\(=-2\left\{x^2+2\times \displaystyle\frac{3}{4}x+\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 – \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 \right\}+2\)
\(=-2\left\{ \left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2\right\} + 2\)
\(=-2\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 +2\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 + 2\)
\(=-2\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 +2\left(\displaystyle\frac{9}{16}\right) + 2\)
\(=-2\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 +\left(\displaystyle\frac{9}{8}\right) + \displaystyle\frac{16}{8}\)
\(=-2\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 +\left(\displaystyle\frac{25}{8}\right) \cdots\cdots ①\)
①式より，
頂点の座標は \(\left(-\displaystyle{\frac{3}{4}},\displaystyle{\frac{25}{8}}\right)\)を上に凸とする放物線．
\(y\)軸との交点は \((0, 2)\)
\(x\)軸との交点は\(y=0\)として二次方程式を解けば良い．よって，交点の座標は\((-2,0), (\displaystyle\frac{1}{2},0)\)PDF: https://kosenejuku.com/wp-content/uploads/2021/07/fig_147-6-crop.pdf
問題148
与えられた条件から二次式を求める問題ですね．二次式（二次関数）を\(y=ax^2+bx+c\)とおいて係数の\(a,b,c\)を求めるほうが簡単なのか，\(y=a(x-p)^2+q\) として\(a,p,q\)を求めるほうが簡単なのかは与えられる条件によります．
この問題では予め， 『二次関数\(y=a(x-p)^2+q\)』ということが書かれていますので，これは与えられた条件の一つになりますね．
（１）
この場合は，頂点の座標が与えられていますので，
\(y=a(x-p)^2+q \cdots\cdots ①\)とおきます．
①式において頂点の座標は\(p,q)\)なので，与えられた頂点の座標\((3,5)\)より
\(y=a(x-3)^2+5\)となります．
また，点\(0,-4)\)を通るという条件は，この値は①式を満たすことから①式に代入する．
\(-4=a(0-3)^2+5\)を得ます．これを解いて\(a\)を求めます．
\(-4=9a+5\)
\(9a=-9\)
\(a=-1\)
よって求める２次式は\(y=-(x-3)^2+5\)である．
（２）
頂点の座標が\(y\)軸上にあるということは，２次関数のグラフの対象軸が\(y\)軸なので，平方完成\(y=a(x-p)^2+q\)において\(p=0\)を意味している．
よって求める２次式を \(y=ax^2+q\) とおく．この二次関数は点\((-1,1) と(2,-5)\)を満たすのでそれぞれ代入して
\(1=a(-1)^2+q \Leftrightarrow a+q=1 \cdots\cdots ①\)
\(-5=a(2)^2+q \Leftrightarrow 4a+q=-5 \cdots\cdots ②\)
②\(-\)①
\(3a=-6 \Leftrightarrow a=-2\)
①式に代入して，\(q=3\)
よって求める２次関数は\(y=-2x^2+3\)
（３）
直線\(x=2\)が放物線の対象軸ですから，\(y=a(x-2)^2+q\)とおきます．注意：\(x=-2\)が軸の場合は\(y=a(x+2)^2+q\)とします．符号に気をつけて下さい．２点\((0,5)と(3,2)\) を満たすことから，それぞれ代入する．\(0=a(0-2)^2+q \Leftrightarrow 4a+q=5 \cdots\cdots ①\)\(2=a(3-2)^2+q \Leftrightarrow a+q=2 \cdots\cdots ②\)
②\(-\)①\(3a=3 よってa=1\)
②へ代入して，\(q=1\)
よって求める２次関数は\(y=(x-2)^2+1\)
問題149
（１）
与えられた条件から，求める二次関数を\(y=ax^2+bx+c\)とおき，条件を利用して求めるのが良いと思われます．与えられている座標が計算が楽になるように見受けられます．
3点\((1,0),(0,3),(2,-1)\)を二次式\(y=ax^2+bx+c\)にそれぞれ代入します．
\(0=a+b+c \cdots\cdots ①\)
\(3=c\cdots\cdots ②\)
\(-1=a(2)^2+b(2)+c \Leftrightarrow -1=4a+2b+c \cdots\cdots ③\)
②の値を①式と③式へ代入する．
\(a+b=-3 \cdots\cdots ①’\)
\(-1=4a+2b+3 \Leftrightarrow 2a+b=-2 \cdots\cdots ③’\)
③’\(-\)①’ を行うと，\(a=1\)が得られる．
この\(a\)の値を①’式へ代入する．
\(-1 + b = -3 \Leftrightarrow b=-4\)
よって求める2次関数は\(y=x^2-4x+3\)である．
グラフ作成のために，上式を平方完成を行う．
\(y=x^2-4x+2^2-2^2+3=(x-2)^2-1\)
これより，頂点の座標は\(2,-1\)，\(x\)軸との交点は\(1,0)と(3,0\)である．
グラフは以下の通り．
fig_149-1-crop（２）
題意より，二次式を \y=a(x-3)(x+2)，a \ne 0\) とおける．\(y\)軸と\(0,6)\)で交わることから
\(6=a(0-3)(0+2)よりa=-1\) よって，\(y=-(x-3)(x+2)\)求める２次関数は
\(y=-x^2+x+6\)
平方完成する．
\(y=-(x^2-x)+6\)
\(=-\{ x^2 – 2(\frac{1}{2})x + (\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2 \}+6 \)
\(=-(x-\frac{1}{2})^2 +(\frac{1}{2})^2 + 6\)
\(=-\left( x-\displaystyle{\frac{1}{2}} \right )^2 + \displaystyle{\frac{25}{4}}\)
上に凸のグラフで，頂点の座標は\(\left(\displaystyle{\frac{1}{2},\frac{25}{4}}\right)\)，\(x\)軸と\(y\)軸との交点は条件に示されている通り．グラフは以下の通り．
fig_149-2-crop問題156
\(y=\displaystyle{\frac{1}{2}}x^2\)
・\(x\)軸方向に\(-2\)平行移動
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}(x+2)^2\)
・続けて\(y\)軸方向に\(+1\)平行移動
\(y=\displaystyle\frac{1}{2}(x+2)^2+1\) これが求める解
問題157
\(y=x^2+3x\)を平方完成する．
\(y=x^2+2\displaystyle{\left(\frac{3}{2}\right)}x+\displaystyle{\left(\frac{3}{2}\right)^2-\displaystyle{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}\)
\(=\left (x+\displaystyle{\frac{3}{2}}\right )^2-\displaystyle{\left(\frac{3}{2}\right)^2}\)
\(y=\left (x+\displaystyle{\frac{3}{2}}\right )^2 – \displaystyle{\left(\frac{9}{4}\right)}\)
グラフは次の通りです．
fig_157-crop
問題158
考え方は問題148と同じです．
（１）
頂点の座標が与えられているので，求める２次関数の式を\(y=a(x-2)^2-5\)とおく．
この式が座標\((0,7)\)を満たすので，代入すると
\(7=a(0-2)^2-5\) これを解いて \(a=3\)
よって求める２次関数の式は \(y=3(x-2)^2-5\) である．
（２）
対称軸が与えられているので，求める２次関数の式を\(y=a(x+1)^2+q\)とおく．この式が，座標\((0,1),(-3,7)\)を満たすことから
\(1=a(0+1)^2+q \Leftrightarrow 1=a+q \cdots\cdots ①\)
\(7=a(-3+1)^2+q \Leftrightarrow 7=4a+q \cdots\cdots ②\)
②\(-\)① を計算して\(a=2\)
①式に代入して\(q=-1\)
よって求める２次函数は，\(y=2(x+1)^2-1\)
