整式P(x)を整式A(x)で割ったときの商をQ(x)，余りをR(x)とするとP(x) = A(x)Q(x) + R(x) と記述できる．ただし，R(x)=0 またはR(x)はA(x)より次数の低い整式である．
整式とは多項式と理解しておいても構わない．Pという文字を使う理由は英単語のPolynomialから来ている．参考までに商のQはQuotient，余りのRはRemainderから来ている．この単語は覚えておくと良いですね．ついでに，Divisor，Dividendを調べておくと良いことがあるかも，，，．
では，説明していきます．
問題16の(4)を例にとって，その方法を説明していきます．
example_hissan_1-crop割る数とあるものを掛け算して引くと最上位桁がゼロになるような数を発見するのが方法である．この例では\(\frac{1}{2}x^2\)を割る数(\(B(x)\))と掛けて\(x^3 + \frac{1}{2}x^2\)を得ます．これを割られる数(\(A(x)\)の直下において引き算を行うと\(x^3\)が消去される．このとき，商を記述部分に\(\frac{1}{2}x^2\)を書きます．\(2x^2 – \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x^2\)は引き算の結果です．その結果を最下段に書きます．同時に割られる数より\(3x\)を下におろして下段に書きます．
example_hissan_2-crop-2その減算結果を，図に示します．
example_hissan_3-crop次に，この\(\frac{3}{2}x^2\)が消えるように，商を書く段に\(\frac{3}{4}x\)をおいて割る式と掛け算をおこないます．その様子を次に示します．
example_hissan_4-crop割り算を最後まで行った結果を示しています．最下段に残ったのが余り(\(\frac{31}{8})\)で，最上位に記されているのが商\(\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{9}{8}\)ですね．
では，この要領で他の問題も解いてみましょう．
問題12
（1）\(6x^2 +5x-1\) を\(2x-1\)で割ったときの商と余りを求める．
筆算の要領で割り算を実行すると次のようになる．商は\(3x+4\)で余りは\(3)\)となる．
q12-1-crop(2) \(x^3-9x\)を\(x^2+3x-2\)で割ったときの商と余りを求める
同様に筆算の方法で行うと次のようになる．商は\(x-3\)で余りは\(2x-6\)となる．
q12-2-crop(3) \(6c^3 – 4c^3 + 2c +1\)を\(2c^2+1\)で割ったときの商と余りを求める
同様に筆算の方法で行うと次のようになる．商は\(3c-2\)で余りは\(c+3\)となる．
q12-3-crop(4)\(2x^2+7ax+8a^2\)を\(2x+3a\)で割ったときの商と余りを求める
同様に筆算の方法で行うと次のようになる．商は\(x+2a\)で余りは\(2a^2\)となる．
q12-4-crop以下，次の除法の等式，剰余の定理，因数定理に続く
整式\(P(x)\)を整式\(A(x)\)で割ったときの商を\(Q(x)\)，余りを\(R(x)\)とすると$$P(x) = A(x)Q(x) + R(x)$$ と記述できる．ただし，\(R(x)=0\) または\(R(x)\)は\(A(x)\)より次数の低い整式である．
整式とは多項式と理解しておいても構わない．\(P\)という文字を使う理由は英単語のPolynomialから来ている．参考までに商の\(Q\)はQuotient，余りの\(R\)はRemainderから来ている．この単語は覚えておくと良いですね．ついでに，Divisor，Dividendを調べておくと良いことがあるかも，，，．
