解と係数の話題で学習する対称式と交代式についてその発展的に学習します．
対称式とは与えられた式においてその変数を入れ替えても元に戻るものをいう．
基本対称式（2変数の対称式）
\(x+y, xy\)において\(x\)を\(y\)を，\(y\)を\(x\)としても元の式に戻ります．このときの特徴は次の例で
示すことができます．この\(x+y, xy\)を基本対称式と言います．対称式の特徴として次の例があります．
\(x^2 + y^2 = (x+y)^2 -2xy\)
\(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 -xy + y^2)\)
このように，基本対称式で表現できます．
問題72
(1) 与えられた方程式\(3x^2+4x-2=0\)の解を\(\alpha, \beta\)とすると
解と係数の関係より
\(\alpha + \beta = \displaystyle{-\frac{4}{3}}, \alpha\beta = \displaystyle{\frac{-2}{3}}\)である．
与式\(=\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta\)となる．
よって，
\((\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta\)
\(= \displaystyle{(-\frac{4}{3})^2 – 2\times\displaystyle{\frac{-2}{3}}}\)
\(= \displaystyle{\frac{16}{9}} + \displaystyle{\frac{4}{3}}\)
\(=\displaystyle{\frac{16}{9}} + \displaystyle{\frac{12}{9}}\)
\(=\displaystyle\frac{28}{9}\)
(2) 二次方程式\(x^2-3x+5=0\)の解を\(\alpha, \beta\)とすると，解と係数の関係より
\(\alpha + \beta = 3\)，\(\alpha \beta = 5\)である．
ここで，
\(\alpha^3 + \beta^3 \)
\( = (\alpha + \beta)(\alpha^2 -\alpha\beta + \beta^2)\)
\(=(\alpha + \beta)\{(\alpha+\beta)^2 -3\alpha\beta )\}\)
となるので，\(\alpha + \beta = 2\)，\(\alpha \beta = 5\)を代入すると
\(= (3)\times(3^2-3\times 5)\)
\(=3\times (9-15)\)
\(=-18\)
(3) \(\alpha + \beta = -\displaystyle\frac{1}{2}, \alpha\beta = \displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}}\)
\(= \displaystyle\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\displaystyle{\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}}\)
\(=-1\)
対称式に関する練習問題
（１）\(x=\sqrt{5} – \sqrt{3}, y = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)とする．\(x^2 + y^2\)の値を求めなさい．
（２）\(\displaystyle{1+\frac{1}{x} = \sqrt{3}}\)とする．
\(x^2 +\displaystyle{\frac{1}{x^2}}\)， \(x^3 +\displaystyle{\frac{1}{x^3}}\)， \(x^4 +\displaystyle{\frac{1}{x^4}}\)
のそれぞれの値を求めなさい．
（３）(2014年センター試験)
\(\displaystyle{a=\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}}, b=\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{2}}}\) とする．
\(ab\)， \(a+b\)， \(a^2 + b^2\)を求めなさい．
対称式のおまけ解説
- 全ての対称式は基本対称式で表すことができる．
- \(x^n + y^n\)の値は\(x+y\) と\(xy\)がわかれば機械的に計算できる．
- \(x^n+\displaystyle{\frac{1}{x^n}}\)も\(x+\displaystyle{\frac{1}{x}}\)の値がわかれば機械的に求まる
いま\(f_n=x^n+y^n\)として\(x+y\) と\(xy\)で表せることを示す．
\(f_2=x^2+y^2=(x+y)^2 -2xy\)
\(f_3=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\)
これを続けていけば
\(f_n=(x^n+y^n)=(x+y)(x^{n-1}+y^{n-1})-xy(x^{n-2}+y^{n-2})\)
と表すことができることがわかる．
これは，\(f_n(x^n+y^n) = (x+y)f_{n-1}-xy(f_{n-2})\)
\(f_{n-1}\)と\(f_{n-2}\)が基本対称式\(x+y\)，\(xy\)で表すことができれば\(f_n\)も基本対称式で表せることができることがわかります．数学的帰納法を用いて証明できます．ここでは証明は略します．
例題 \(x+y=1\), \(xy=-1\)のとき，\(x^8+y^8\)の値を求めなさい．
\(f_1=x+y=1\)
\(f_2=(x+y)^2-2xy=3\)
\(f_3=f_2+f_1=4\)
\(f_4=f_3+f_2=7\)
\(f_5=f_4+f_3=11\)
\(f_6=f_5+f_4=18\)
\(f_7=f_6+f_5=29\)
\(f_8=f_7+f_6=47\)
よって，\(x^8+y^8=47\)となる．
