解説
方程式の基本は一次方程式\(ax+b=0, (a\neq0)\)である．未知数は\(x\)であり，\(x\)について解くと\(x=\displaystyle{-\frac{b}{a}}\)となる．一方，\(A\times B=0\)という積の形になっていれば\(A=0\)または\(B=0\)である．ここで\(A\)も\(B\)がそれぞれ一次式であれば，\(x\)の値を求めることができる．
よって，二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を \(A\times B=0\) の形に誘導できれば二次方程式を解くことができる．三次方程式の場合でも，先ずは \(A\times B=0\) 二次式と一次式の積へ導いて，二次式と一次式の積の形で表すことができれば解を求めることができる．
それでは問題の解説をしていきます．
問題66
一目で因数分解か解の公式かの方針が立てられるようになりましょう．
(1) たすき掛けの因数分解ですね．\((2,1)，(1,-3)\)の組み合わせになりますね．
\(2x^2-5x-3=0\)
\((2x+1)(x-3)=0\)
\(2x+1=0 または x-3=0\)
よって，\(x=-\displaystyle\frac{1}{2} または x=3\)
(2) 共通因数でくくる
\(3x^2-2x=0\)
\(x(3x-2)=0\)
\(x=0 または 3x-2=0\)
よって，\(x=0 または x=\displaystyle{\frac{2}{3}}\)
(3) 解の公式を利用
素直に，そのままりようすると
\(x=\displaystyle{\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times 8\times 1}}{2\times 8}=\frac{-6\pm\sqrt{36-32}}{16}=\frac{-6\pm\sqrt{4}}{16}}\)
\(=\displaystyle\frac{-6\pm 2}{16}\)
よって，\(x=-\displaystyle\frac{1}{2} または x=-\frac{1}{4}\)
(4) たすきがけでの因数分解
\(4x^2-9x+2=0\)
\((4x-1)(x-2)=0\)
\(4x-1=0 または x-2=0\)
よって，\(x=\displaystyle{\frac{1}{4}} または x=2\)
問題67
解の公式を利用して解くのが良さそうですね．\((4)\)は分数があると計算がややこしくなりそうですので，両辺に\(6\)を乗じて係数を自然数にしましょう．
(1)
\(x=\displaystyle{\frac{-3\pm\sqrt{3^2 – 4\times 1\times 1}}{2}= \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}}\)
よって，\(x=-\displaystyle{\frac{3+\sqrt{5}}{2} または x=-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\)
(2)
\(x=\displaystyle\frac{-5\pm\sqrt{25+48}}{6}=\frac{-5\pm\sqrt{73}}{6}\)
(3) 解の公式を適用すると
\(x=\displaystyle{\frac{+4\pm\sqrt{16+24}}{4}= \frac{4\pm\sqrt{40}}{4}=\frac{4\pm2\sqrt{10}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}}\)
(4)
両辺に6 を掛けると \(6x^2+3x-2=0\) これに解の公式を適用して
\(x=\displaystyle{\frac{-3\pm\sqrt{9+4\times 6\times 2}}{12} = \frac{-3\pm\sqrt{57}}{12}}\)
問題 68 どの解き方が良いのか見極めてください
(1) \((x-a)^2\)の形ですね．
\(x^2-10x+25 = (x-5)^2\)
よって，\(x=5\)
(2) (1)と同じ形
\(4x^2 – 20x + 25= (2x-5)^2\)
\(2x-5=0\) ∴\(x=\displaystyle{\frac{5}{2}}\)
(3)
与式\(= x^2 + 2\displaystyle{\frac{2}{3}}x + (\displaystyle{\frac{2}{3})^2}\)とすると見通せるでしょう．
\((x+\displaystyle{\frac{2}{3}})^2=0\) ∴\(x=-\displaystyle\frac{2}{3}\)
(4)
与式を\(=(3x)^2 +2\times (3x) +(1)^2\)と見ると\(x^2+2ax+a^2\)の形になるので
\(9x^2+6x+1=0\)
\((3x+1)^2=0\)
よって，\(x=-\displaystyle{\frac{1}{3}}\)
問題 69
全問とも，解の公式をりようするのが良さそうである．
(1) \(x=\displaystyle{\frac{-1\pm\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{4}}=\frac{-1\pm\sqrt{23}i}{4}\)
(2) \(x=\displaystyle{\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 7}}{2}}=\displaystyle{\frac{5\pm\sqrt{25-28}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{3}i}{2}}\)
(3) \(x^2=-9\)
\(x=\pm\sqrt{9}i=\pm3i\)
(4)
\(x=\displaystyle{\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{4}i}{2}}\)
\(=\displaystyle{\frac{4\pm2i}{2}}=2\pm{i}\)
- \(D>0\) のときは異なる２つの実数解
- \(D=0\)のときは重解
- \(D<0\)のときは異なる２つの虚数解
このことを利用して問題70を解いてみましょう．
問題70 解の判別に関する問題
それぞれの判別式の正，負または０かを調べる．
(1) \(D= 3^2 – 4\times 2 \times (-4)=9+32=41 > 0\) よって，異なる２つの実数解を持つ
(2) \(D=25-28=-3 < 0\) よって，異なる２つの虚数解を持つ
(3) \(D=1- 4 \times\displaystyle{\frac{1}{4}}=0\) よって，２重解を持つ
(4) \(D=(-7)^2 – 4\times 3\times 2=49-24=25 > 0\) よって，異なる２つの実数解
問題 71 解の条件が与えれたとき
２重解を持つための実数\(k\)の範囲
(1) 与えられた方程式の判別式を\(D\)とすると，\(D=0\)のときに２重解を持つので
\(D=(3k)^2-4\times 36=0\)を解けば良い．
\(9k^2-4\times (6^2)=0\)
\((3k+12)(3k-12)=0\)
よって，\(k=-frac{12}{3}=-4\)または\(k=frac{12}{3}=+4\) よって\(k=\pm4\)
(2) 以下同様にして解けばよい．
\(D= (-2k)^2 – 4\times (2-k)=0\) を\(k\)について解く．
\(4k^2 +4k -8 = 0\)を解けば良い．両辺を\(4\)で除して
\(k^2 + k – 2=0\)
\((k+2)(k-1)=0\) よって，\(k=-2 or k= 1\)
(3) \(D=\{-2(k+1)\}^2 – 4\times 4k = 4k^2 – 8k +4\)
\(D=0\)を\(k\)について解くと
\(k^2 -2k + 1=0\)
\((k – 1)^2=0\) よって，\(k=1\)
