以下の説明について，予め「数学的には厳密さがやや欠けるかもしれません」ということをお断りしておきます．
虚数単位 \(i\) は \(i^2=-1\) と約束されています．これは『\(i\)は２乗して\(-1\)になる数』です．虚数ですね．記法として
$$\sqrt{-1}=i$$
としています．
\((-i)^2\)はどうでしょうか，\(-1\)ですね．\(\sqrt{-1}\)は\(\pm i\)のうち虚部が正の方，つまり\(+i\)，を表すことにしています．
\(a>0\)のとき
$$\sqrt{-a}=\sqrt{a}i $$
とします．また，\(-a\)の平方根は，\(\pm \sqrt{a}i\)とかけます．
つまり，
\(\sqrt{-3}=\sqrt{3}i\)
であり，\(-8\)の平方根は\(\pm \sqrt{-8}=\pm 2\sqrt{2}i\) である．
例
\(\sqrt {-1}\times \sqrt{-1}\)は２乗して\(-1\)になるもの同士掛け算しているので答えは\(-1\)となります．これを\(\sqrt {-1}\times \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\times (-1)}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\) とするのは間違いです．
\(\sqrt{-8}\times \sqrt{-2}\)も 同様です．根号の中を先に計算してはいけません．あくまでも約束にしたがって
$$\sqrt{-8}\div \sqrt{-2}=\sqrt{8}i \div\sqrt{2}i=\displaystyle{\frac{\sqrt{8}i}{\sqrt{2}i}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=2$$
ですから，\(\sqrt{-2}\times \sqrt{-3}\)の計算のような場合には，先に\(\sqrt{-2}=\sqrt{2}i\)，\(\sqrt{-3}=\sqrt{3}i\) として計算を始めること．
