問題60
（１）分数式の計算，分母を揃えます．そのために全ての分数式の分母を因数分解します．
$$x^2-5x+6=(x-3)(x-2) \cdots\cdots ①$$
$$x^2-4x+3=(x-3)(x-1) \cdots\cdots ②$$
$$x^2-3x+2=(x-2)(x-1) \cdots\cdots ③$$
これより最小公倍数は\((x-3)(x-2)(x-1)\)であることがわかる．
よって，
$$与式=\displaystyle{\frac{3}{(x-3)(x-2)}-\frac{2}{(x-3)(x-1)}-\frac{1}{(x-2)(x-1)}}$$
$$=\displaystyle\frac{1}{(x-3)(x-2)(x-1)}{\{3(x-1)-2(x-2)-1(x-3)\}}$$
$$=\displaystyle\frac{4}{(x-3)(x-2)(x-1)}$$
（２）問題30の(4)に似ていますね．
分母を\((a-b)(b-c)(c-a)\)で通分できますね．やってみましょう．符号に気をつけて！
$$与式=\displaystyle{\frac{1}{(a-b)(b-c)(c-a)}\{-(b+c)(b-c)-(c+a)(c-a)-(a+b)(a-b)\}}$$
$$=\displaystyle{\frac{-1}{(a-b)(b-c)(c-a)}\{(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)+(a+b)(a-b)\}}$$
分子に相当する部分を展開する
$$分子=b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2=0$$
よって，$$与式=0$$
（３）分母分子を因数分解して計算する
$$与式=\displaystyle{\frac{(x+y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}\div \{-\frac{xy(x+y)}{x-y}\}}$$
$$=\displaystyle{-\frac{(x+y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}\times \frac{x-y}{xy(x+y)}}$$
約分して
$$=\displaystyle{-\frac{x+y}{xy(x^2+xy+y^2)}}$$
書き方としては，負の符号を分子に書くというのもある．
$$=\displaystyle{\frac{-(x+y)}{xy(x^2+xy+y^2)}}$$
（４）分母分子を因数分解して約分すると良い
\(分子１=2x^2+5xy+3y^2=(2x+3y)(x+y)\)
\(分母１=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)
\(分子２=x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)
\(分母２=2x^2+xy-y^2=(2x-y)(x+y)\)
\(分子３=2x^2-xy-3y^2=(2x-3y)(x+y)\)
\(分母３=2x^2-3xy+y^2=(2x-y)(x-y)\)
以上をまとめて
$$与式=\displaystyle{\frac{(2x+3y)(x+y)}{(x-y)^2}\times \frac{(x+y)(x-y)}{(2x-y)(x+y)}\times \frac{(2x-y)(x-y)}{(2x-3y)(x+y)}}$$
$$=\displaystyle{\frac{2x+3y}{2x-3y}}$$
問題61
（１）分母と分子を分けて計算し，あとでまとめる
$$分子=\displaystyle{\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}}$$
$$=\displaystyle{\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}}$$
$$=\displaystyle{\frac{4x}{(x-1)(x+1)}}$$
$$分母=\displaystyle{\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}}$$
$$=\displaystyle{\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}+\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}}$$
$$=\displaystyle{\frac{2(x^2+1)}{(x-1)(x+1)}}$$
以上のことをまとめると
$$与式=\displaystyle{\frac{4x}{(x-1)(x+1)}}\times \displaystyle{\frac{(x-1)(x+1)}{2(x^2+1)}} $$
$$=\displaystyle{\frac{2x}{x^2+1}}$$
（２）分母と分子の計算を先におこない，あとでまとめるとよい．
\(分子=\displaystyle{\frac{2}{t-2}+1}=\frac{2+t-2}{t-2}=\frac{t}{t-2}\)
\(分母=\displaystyle{\frac{2}{t+2}}-1=\displaystyle{\frac{2-t-2}{t+2}}=\displaystyle{\frac{-t}{t+2}}\)
（３）これも分母と分子をわけて丁寧に計算する．計算ミスに注意！！
$$分子=\displaystyle{a-\frac{1}{1+\displaystyle{\frac{1}{a}}}}$$
$$=\displaystyle{a-\frac{1}{\displaystyle{\frac{a+1}{a}}}}$$
$$=a-\displaystyle{\frac{a}{a+1}}$$
$$=\displaystyle{\frac{a(a+1)-a}{a+1}}$$
$$=\displaystyle{\frac{a^2}{a+1}}$$
$$分母=\displaystyle{a+\frac{1}{1-\displaystyle{\frac{1}{a}}}}$$
$$=\displaystyle{a+\frac{1}{\displaystyle{\frac{a-1}{a}}}}$$
$$=a+\displaystyle{\frac{a}{a-1}}$$
$$=\displaystyle{\frac{a^2}{a-1}}$$
よって，
$$与式=\displaystyle{\frac{a^2}{a+1}\times \frac{a-1}{a^2}}$$
$$=\displaystyle{\frac{a-1}{a+1}}$$
（４）最下層より順番に計算すると良い
\(1-\displaystyle{\frac{1}{x}}=\displaystyle{\frac{x-1}{x}} \cdots\cdots ①\)
\(1-\displaystyle{\frac{1}{\left (1-\displaystyle{\frac{1}{x}}\right )_{①}}}=1-\frac{1}{\displaystyle{\frac{x-1}{x}}}=1-\frac{x}{x-1}=\frac{-1}{x-1} \cdots\cdots ②\)
\(与式=\displaystyle{\frac{1}{1-\displaystyle{\frac{1}{\left (1-\displaystyle{\frac{1}{1-\displaystyle{\frac{1}{x}}}} \right )_{②} }}}}=\displaystyle{\frac{1}{1-\displaystyle{\frac{1}{\displaystyle{\frac{-1}{x-1}}}}}}=\displaystyle{\frac{1}{1+ x-1}}=\frac{1}{x}\)
問題62
（１）
アプローチ１
与式\(=\displaystyle{\frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}}=\displaystyle{\frac{2-(\sqrt 3 +\sqrt 7)}{(2+\sqrt{3}+\sqrt{7})(2-(\sqrt 3 +\sqrt 7))}}=\displaystyle{\frac{2-(\sqrt 3 + \sqrt 7)}{4-(\sqrt 3 + \sqrt 7)^2}}\)
\(=\displaystyle{\frac{2-\sqrt 3 – \sqrt 7}{4 – (10 + 2\sqrt{21})}}\) とやっていくと計算が複雑になるのでこのアプローチは良くなかったですね．止めましょう．
アプローチ２はオーソドックスに
与式\(=\displaystyle{\frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}}=\displaystyle{\frac{1(2+\sqrt 3 – \sqrt 7)}{(2+\sqrt 3 + \sqrt 7)(2+ \sqrt 3 – \sqrt 7)}}=\displaystyle{\frac{2+\sqrt 3 – \sqrt 7}{(2+\sqrt 3)^2 – (\sqrt 7)^2}}\)
\(=\displaystyle{\frac{2+\sqrt 3 – \sqrt 7}{4+2\sqrt 3 + 3 – 7}}=\displaystyle{\frac{2+\sqrt 3 – \sqrt 7}{2\sqrt 3}}=\displaystyle{\frac{(2+\sqrt 3 – \sqrt 7)\times \sqrt 3}{2\sqrt 3\times \sqrt 3}}\)
\(=\displaystyle{\frac{2\sqrt 3+ 3 – \sqrt {21}}{12}}\)
（２）分母を揃えましょう．
与式\(=\displaystyle{\frac{1}{1+\sqrt 2 – \sqrt 3}+\frac{1}{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3}}\)
\(= \displaystyle{\frac{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3}{(1+\sqrt 2 – \sqrt 3)(1 + \sqrt 2 + \sqrt 3)}+\frac{1+\sqrt 2 – \sqrt 3}{(1 + \sqrt 2 + \sqrt 3)(1+\sqrt 2 – \sqrt 3)}} \)
\(=\displaystyle{\frac{2(1 + \sqrt 2)}{(1+\sqrt 2)^2 – (\sqrt 3)^2}}=\displaystyle{\frac{2(1+\sqrt 2)}{2\sqrt 2}}=\displaystyle{\frac{(1+\sqrt 2)\times \sqrt 2}{(\sqrt 2)^2}}\)
\(=\displaystyle{\frac{2+\sqrt 2}{2} }\)
問題63
\(\alpha=a+bi， \beta=c+di，a，ｂともに実数とする\)
（１）
左辺\(=|\alpha |= \sqrt {a^2 + b^2}\)
右辺\(=|\overline{\alpha}|=|\overline{a-bi}|=\sqrt{a^2 + (-b)^2}=\sqrt{a^2 + b^2}\)
よって，左辺\(=\)右辺
（２）
左辺\(=|\alpha + \beta|^2=|a+bi+c+di|^2=|(a+c)+(b+d)i|^2=(\sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2})^2\)
\(=(a+c)^2+(b+d)^2\)
右辺\(=|\alpha|^2 + \alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta + |\beta|^2\)
\(=(\sqrt{a^2 + b^2})^2 + (\sqrt{c^2 + d^2})^2 + (a+bi)(c-di)+ (a-bi)(c+di)\)
\(=a^2+b^2+c^2+d^2+ac-adi+bci+bd+ac+adi-bci+bd\)
\(=a^2+2ac+c^2 + b^2 + 2bd + d^2\)
\(=(a+c)^2 + (b+d)^2\)
よって，左辺\(=\)右辺
（３）
左辺\(=\displaystyle{\left | \frac{\alpha}{\beta}\right |}=\displaystyle{\left | \frac{a+bi}{c+di}\right |}=\displaystyle{\left | \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\right |}=\displaystyle{\left | \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\right |}\)
\(=\displaystyle{\left | \frac{(ac-bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\right |}=\displaystyle{\left | \frac{ac-bd}{c^2+b^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\right |}\)
\(=\displaystyle{\sqrt{ \left (\frac{ac-bd}{c^2+b^2}\right )^2+\left (\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right )^2 } }=\displaystyle{\sqrt{ \frac{a^2c^2+2abcd+b^2d^2+b^2c^2-2abcd+a^2d^2}{(c^2+d^2)^2} } }\)
\(=\displaystyle{\sqrt{ \frac{a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2+a^2d^2}{(c^2+d^2)^2} } }\)
\(=\displaystyle{\sqrt{ \frac{a^2(c^2+d^2)+b^2(d^2+c^2)}{(c^2+d^2)^2} } }=\displaystyle{\sqrt{ \frac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{(c^2+d^2)^2} } }\)
\(=\displaystyle{\sqrt{ \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2} } } a,b,c,d は実数なので\)
\(=\displaystyle{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}}\)
右辺\(=\displaystyle{\frac{|\alpha|}{|\beta|}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}}\)
よって，左辺\(=\)右辺
問題64 \(\sqrt{(a+b)^2}\)の形に持っていけばいいよね
左辺\(=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\)
\(=|\sqrt a +\sqrt b|\)
\(a>0，b>0\) だから
左辺\(=\sqrt a +\sqrt b\)
よって，左辺\(=\)右辺
問題65
（１）
与式\(=\sqrt{3+2\sqrt 2}=\sqrt{(\sqrt 2)^2+(\sqrt 1)^2+2\sqrt{2\times 1}}=\sqrt{(\sqrt 2 + \sqrt 1)^2}=\sqrt 2 +1\)
（２）
与式\(=\sqrt{5-2\sqrt 6}=\sqrt{(\sqrt 3)^2 + (\sqrt 2)^2 -2\sqrt{3\times 2}}=\sqrt{(\sqrt 3 – \sqrt 2)^2 }\)
\(=|\sqrt 3 – \sqrt 2|\) 平方根を外すとき絶対値をつけて大小（正負）の判定
\(\sqrt 3 > \sqrt 2\)より
与式\(=\sqrt 3 – \sqrt 2\)
（３）
与式\(=\sqrt{6-\sqrt{32}}=\sqrt{6-\sqrt{4\times 8}}= \sqrt{6-2\sqrt 8}=\sqrt{4 + 2 – 2\sqrt{4\times 2}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt 4)^2 + (\sqrt 2)^2 – 2\sqrt{4\times 2}} =\sqrt{(\sqrt 4 – \sqrt 2)^2}\)
\(=|\sqrt 4 – \sqrt 2|=|2-\sqrt 2|\)
\(2>\sqrt 2\)なので
与式\(=2- \sqrt 2\)
（４）\(\sqrt{7-4\sqrt 3}\)
与式\(=\sqrt {7-4\sqrt 2}=\sqrt {7-2\sqrt {2^2\times 3 }}=\sqrt {4 + 3 – 2\sqrt {4\times 3}}\)
\(=|\sqrt 4 – \sqrt 3|\)
\(\sqrt 4 > \sqrt 3\)より
与式\(=2-\sqrt 3\)
（５）\(\sqrt{2+\sqrt 3}\)
与式\(=\sqrt{2+\sqrt 3}=\displaystyle\sqrt{{\frac{4+2\sqrt 3}{2}}}=\sqrt\frac{3 + 1 + 2\sqrt {3\times 1}}{2}=\frac{\sqrt{3 + 1 + 2\sqrt {3\times 1}}}{\sqrt 2}\)
\(=\displaystyle{\frac{\sqrt 3 +\sqrt 1}{\sqrt 2}} =\displaystyle{\frac{(\sqrt 3 + \sqrt 1)\times \sqrt 2}{\sqrt 2 \times \sqrt 2}}\)
\(=\displaystyle{\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{2}}\)
（６）\(\sqrt{4 – \sqrt 7}\)
与式\(=\sqrt {4 – \sqrt 7}=\displaystyle{\sqrt {\frac{8 – 2\sqrt 7}{2}}}=\displaystyle{\sqrt {\frac{7 + 1 – 2\sqrt {7\times 1}}{2}}}=\displaystyle{ \frac{\sqrt{7 + 1 – 2\sqrt {7\times 1}}}{\sqrt 2}}\)
\(=\displaystyle{\frac{\sqrt 7 – \sqrt 1}{\sqrt 2}}=\displaystyle{\frac{(\sqrt 7 – \sqrt 1)\times \sqrt 2}{\sqrt 2\times \sqrt 2}}\)
\(=\displaystyle{\frac{\sqrt {14}-\sqrt 2}{2}}\)
問題66
（１）\(\sqrt{1+x-2\sqrt x} (x \ge 1 ) \)
\(\sqrt {1 + x -2\sqrt x}=\sqrt{x+1-2\sqrt x}=\sqrt x – \sqrt 1\)
別解（こっちは，おいらはわかってるよ〜感をアピールできるかもね）
\(\sqrt {1 + x -2\sqrt x}=\sqrt{1+x-2\sqrt x}=\sqrt{(\sqrt 1 – \sqrt x)^2} = \left | \sqrt 1 – \sqrt x \right | \)
\(x \ge 1\)より\(\sqrt 1 – \sqrt x \le 0\)
よって，
与式\(=\sqrt x -1\)
（２）\(\sqrt{1+2\sqrt{a(1-a)}} (0\le a \le 1)\)
\(\sqrt{1+2\sqrt{a(1-a)}}=\sqrt{a + (1-a) + 2\sqrt{a(1-a)}}=\sqrt{(\sqrt a + \sqrt{1-a})^2}\)
与式\(=|\sqrt a + \sqrt{(1-a)}|\)
\(0\le a \le 1\)より (\\sqrt a + \sqrt{(1-a)} \ge 0\)
与式\(=\sqrt a + \sqrt{1-a} \)
問題６７
分母の二重根号をはずし，有理化を行えば，例題の方法に帰着できますよね．そのとき，計算が楽なるにことを考えておきましょう．
分母\(=\sqrt{7-2\sqrt 6}=\sqrt{6+1 – 2\sqrt 6}= \sqrt 6 – 1\)
与式\(=\displaystyle{\frac{5}{\sqrt 6 – 1}}=\displaystyle{\frac{5(\sqrt 6 + 1)}{(\sqrt 6 -1)(\sqrt 6 + 1)}}=\displaystyle{\frac{5(\sqrt 6 + 1)}{6 -1}}=\sqrt 6 + 1\)
\(\sqrt 6\)について
\(\sqrt 4 < \sqrt 6 < \sqrt 9\) より\( 2+1 < \sqrt 6 + 1< 3 +1 \) よって\( 3 < \sqrt 6 + 1< 4 \)
\(\sqrt 6 + 1\)の整数部は\(a=3\)，小数部は\(b=(\sqrt 6 +1) – 3= \sqrt 6 -2\)
\(\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
\(= \displaystyle{\frac{1}{3}+ \frac{1}{\sqrt 6 – 2}}\)
\(= \displaystyle{\frac{1}{3}+ \frac{\sqrt 6 + 2}{(\sqrt 6 – 2)(\sqrt 6 + 2)}}\)
\(=\displaystyle{\frac{1}{3}+\frac{\sqrt 6 + 2}{2}}\)
\(=\displaystyle{\frac{2+3\sqrt 6 + 6}{6}}\)
\(=\displaystyle{\frac{8+3\sqrt 6}{6}}\)
