関数の考え方
関数は入力値を受け取り何らかの処理を行い、その結果を出力する装置とみなすことができる.したがって関数とは変数に入力を与え、計算してその結果を出力するものと考えてよい．この時，入力変数や出力変数は複数であっても構わない．諸君が学ぶ数学はこれから暫くの間は入力変数，出力変数はともに１変数を取り扱うこととする．学年が進むと，複数の場合を取り扱うことになる．図１．に関数の概念を図示している．
関数の説明は次の動画の01:35-05:00の約４分ほどで，その後は一次関数を使った具体例です．英語ですが，わかりやすく説明されています．Functionはmachine in Math という説明ですが，広義の”機械”で，ここでは”処理する装置”くらいの理解が宜しいかと思います．参考までに22:00以降の説明で\(x^3\)とか\(x^4\)などの例が示されていますが，cubeやfourth powerと読んでますね．３乗，４乗です．
図１．関数の概念
\(f(x)=ax^2+bx+c\hspace{3mm}(a\neq 0)\)は２次関数の一般形である．2次式や2次関数という言葉には\(a\neq 0\)は暗黙の条件である．また，数式の表現としては\(y=f(x)\)という書き方もあるが，この場合はどのような処理（前述の”計算”）がなされるのか明示されていない．
ここではあまり複雑に考えずに，こういう書き方もあるんだなぁというレベルで先に進みましょう．
\(y=ax^2\)のグラフ(基本)
2次関数の基本は\(y=ax^2\)ですね，中学のときに学習しました．\(x\)の値を小刻みに変えていき\(y\)の値がどのようになるか調べたと思います．基本の式は\(y=ax^2\)で\(a>0\)のときは下に凸で，\(a<0\)のときは上に凸の放物線を描く．
fig_paravora_1-crop-2図２．２次関数のグラフ，基本
練習問題 表計算ソフト(エクセル，Googleスプレッドシートなど)を使って \(y=2x^2\) と\(y=-2x^2\)の値がどのようになるか，次の表にならって計算し，それをグラフを書いてみましょう．
原点を頂点とする放物線が描かれることがわかると思います．\(x\)の２乗の係数が正のときは下に凸，負のときは上に凸のグラになります．
グラフの平行移動
\(x\)軸方向への平行移動
\(y=ax^2 + q\)は\(y=ax^2\)のグラフを\(y\)軸の正の方向に\(q\)だけ平行移動したものである．式からもそれを読み取って頂きたい．図にそのグラフを示している．頂点の座標は\((0,q)\)である．
fig_paravora_5図３．\(x\) 軸の正の方向への移動
\(y\)軸方向への平行移動
\(y=a(x-p)^2\)のグラフは\(y=ax^2\)のグラフを\(x\)軸の正の方向に\(p\)だけ平行移動したものである．図にそのグラフを示している．\(x=p\)のときに\(y=0\)となり，頂点の座標は\((p,0)\)である．
fig_paravora_2図４．\(y\) 軸の正の方向への移動
\(x\)軸方向と\(y\)軸方向への平行移動
\(y=a(x-p)^2+q\)のグラフは\(y=ax^2\)のグラフを\(x\)軸の正の方向に\(p\)だけ平行移動し,\(y\)軸の正の方向に\(q\)だけ平行移動したものである．図にそのグラフを示している．\(x=p\)のときに\(y=q\)となり，頂点の座標は\((p,q)\)である．
fig_paravora_3図４．\(x\)軸と\(y\) 軸のへの移動
2次関数と\(x\)軸との交点
\(y=ax^2+bx+c\)が\(x\)軸と交わる点（交点）はすなわち\(ax^2+bx+c=0\)の解を求めることである．
ここで解の公式と判別式の関係について振り返ってみよう．
\(a\ne 0\)とする．
\(ax^2+bx+c\)は\(ax^2+bx+c=\displaystyle{a(x+\frac{b}{2a})-\frac{b^2-4ac}{4a}}\)
よって，\(ax^2+bx+c=0\)の解は
\(x=\displaystyle{\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)
\(D=\sqrt{b^2-4ac}\)とおくと，次の３つの場合が存在する．ここでは，\(a>0\)とし下に凸なグラフとする．
\(D>0\)の場合：2点と交わる/共有点が２個/ ２つの実数解
\(D>0\)の場合，異なる２点で交わる．２つの実数解を有することがわかる．この実数解が\(x\)軸との交点である．つまり，2次方程式の解は\(x=\displaystyle{\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)である．
fig_quadratic_1-crop\(D=0\)の場合：1点と交わる/共有点が1個/重解
\(D=0\)の場合，1点で交わる．１つの実数解，重解を有することがわかる．この重解が\(x\)軸との交点であり，2次方程式の解は\(x=\displaystyle{-\frac{b}{2a}}\)となる．図形上では\(x\)軸と2次関数のグラフの頂点が接している．
fig_quadratic_2-crop\(D<0\)：交わらない/共有点を持たない/虚数解
\(D<0\)の場合：\(x\)軸とは交点を持たない，よって2次方程式は実数解を持たず，虚数解となる．
fig_quadratic_3-crop
