論理式を取り扱う際に更に役に立つ定理でド・モルガン(De Morgan)の定理（DeMorgan’s theorem）がある．
2 変数の場合
２変数の場合は
\(\overline{x_1+x_2} =\overline{x_1}\cdot \overline{x_2} \cdots\cdots DeMorgan (a)\)
\(\overline{(x_1\cdot x_2)}=\overline{x_1}+ \overline{x_2} \cdots\cdots DeMorgan (b)\)
と定義されている．
このことが成立する証明は，二つの変数に0と1のすべての組合せを代入して左辺と右辺とを比べることで証明できる．
2変数のドモルガンの定理の証明
| \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_1+x_2\) | \(\overline{x_1+x_2}\) | \(\overline{x_1}\) | \(\overline{x_2}\) | \(\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}\) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
一般形
ド・モルガンの定理の一般形は次の式で示される．
\(\overline{(x_1 + x_2+ \cdots + x_{n+1})} =\overline{x_1} \cdot \overline{x_2}\cdots\overline{x_{n+1}} \cdots \cdots DeMorgan (c)\)
\(\overline{(x_1 \cdot x_2 \cdots x_{n+1})} =\overline{x_1}+ \overline{x_2}+\cdots+\overline{x_{n+1}} \cdots\cdots DeMorgan (d)\)
これが成立することは数学的には厳密ではないが、次のように説明することができる。
\(\overline{{(x_1+x_2+\cdots+x_n)}+x_{n+1}}\) は \(y=(x_1+x_2+\cdots + x_n)\)
とおくと，
\(\overline{y+x_{n+1}}\)と書ける．これは２変数の場合におけるド・モルガンの定理に当てはめることができる．
よって，
\( \overline{y+x_{n+1}}=\overline{y} \cdot \overline{x_{n+1}}\)
これを繰り返し適用して
\(\overline{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n+1}} = \overline{x_1}\cdot \overline{x_2} \cdots \overline{x_{n+1}}\)
となることが説明できる．これは一般形のDeMorgan (a)である．
