ここでは論理式の取扱いになれるために２つほど例題を示します．章末に練習問題を用意していますので取組んで下さい．
例題１ \(\overline{x_1\cdot x_2 +x_2 \cdot x_3 +x_3 \cdot x_1}=\overline{x_1} \cdot \overline{x_2}+\overline{x_2} \cdot \overline{x_3}+\overline{x_3} \cdot \overline{x_1}\) を証明しなさい．
左辺\(=\overline{x_1\cdot x_2 +x_2 \cdot x_3 +x_3 \cdot x_1}\)
\(=\overline{x_1x_2} \cdot \overline{x_2x_3} \cdot \overline{x_3x_1}\)
\(=(\overline{x_1}+\overline{x_2})\cdot (\overline{x_2}+\overline{x_3})\cdot (\overline{x_3}+\overline{x_1})\)
\(=(\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_3})(\overline{x_3}+\overline{x_1})\)
\(=(\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_3})\cdot \overline{x_3} \)
\(+ (\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_3})\cdot \overline{x_1}\)
第１項\(=\{\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}\cdot \overline{x_3} + \overline{x_1}\cdot \overline{x_3}\cdot \overline{x_3} + \overline{x_2}\cdot \overline{x_3}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_3}\cdot \overline{x_3}\}\)
\(=\{\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}\cdot \overline{x_3} + \overline{x_1}\cdot \overline{x_3} + \overline{x_2}\cdot \overline{x_3}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_3}\}\)
\(=\{\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}\cdot \overline{x_3} + \overline{x_1}\cdot \overline{x_3} + \overline{x_2}\cdot \overline{x_3}\}\)
\(=\{\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}\cdot(\overline{x_2}+1) + \overline{x_1}\cdot \overline{x_3} + \overline{x_2}\cdot \overline{x_3}\}\)
\(=\{\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}+ \overline{x_1}\cdot \overline{x_3} + \overline{x_2}\cdot \overline{x_3}\}\)
\(=\{\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}+ \overline{x_2}\cdot \overline{x_3}\}\)
第２項\(= (\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_3})\cdot \overline{x_1}\)
\(= \overline{x_1}\cdot \overline{x_2}\cdot \overline{x_1}+\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}\cdot \overline{x_1}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_2}\cdot \overline{x_1}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_3}\cdot \overline{x_1}\)
\(= \overline{x_1}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_1}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_3}\cdot \overline{x_1}\)
\(= \overline{x_1}\cdot \overline{x_2}(1 + 1 + \overline{x_3})+\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}\)
\(= \overline{x_1}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}\)
第１項＋第２項
左辺 = \((\overline{x_1}\cdot \overline{x_3}+ \overline{x_2}\cdot \overline{x_3})+(\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_1}\cdot \overline{x_3})\)
\(=\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}+\overline{x_2}\cdot \overline{x_3}+\overline{x_3}\cdot \overline{x_1}\)
∴ 左辺\(=\)右辺
例題２ \(x\cdot y + \overline{x}\cdot z + y\cdot z = x\cdot y + \overline{x}z\) が成立することを証明しなさい
左辺\(= x\cdot y + \overline{x}\cdot z + y\cdot z\)
\(= x\cdot y + \overline{x}\cdot z + y\cdot z \cdot(x + \overline{x})\)
\(= x\cdot y + \overline{x}\cdot z + x\cdot y\cdot z + \overline{x}\cdot y \cdot z\)
\(= x\cdot y \cdot ( 1 + z) + \overline{x}\cdot z (1 + y)\)
\(= x\cdot y + \overline{x}\cdot z\)
∴ 左辺\(=\)右辺
