不等式の証明は次のアプローチが定跡である．
１）\(A > B\) は \(A – B > 0\)を示すと良い
\(A >C>B \) を示すというテクもある．
２）\(A^2\)と式変形すると「ゼロ以上，大なり」
３）\(AB\) の形にして\(AとB\)の正負を調べる
では問題の解説に入っていきます．
問題110
条件 \(a \le -2\) より \(a+2 \le 0\)としてよい．
\(P= a^2 – 4 = (a+2)(a-2)\)
\(a+2 \le 0，a-2 < 0\)より \(P\ge 0\)なので \(a^2 \ge 4\)
問題111
条件より
\(a > b \cdots\cdots ①\)
\(c < d \Longleftrightarrow -c > – d \cdots\cdots ②\)
\(①+②\)
\(a-c > b-c\)
問題112
\(P=x^2+4y^2-4xy\)とする．
\(P=x^2+4y^2-4xy =(x-2y)^2\)より\(P\ge 0\)
よって，\(x^2+4y^2 \ge 4xy\)
問題113 次の不等式を証明せよ
（１）
\(x^2-8x+16=(x-4)^2 \ge 0\)
∴\(x^2-8x+16 \ge 0\)
（２）
\(x^2+4x+5=(x+2)^2 + 1\)
\((x+2)^2 \ge 0，1>0\)
∴\(x^2+4x+5>0\)
問題114 次の不等式を証明せよ
（１）
\(相加平均\ge 相乗平均\) より
\(\displaystyle{\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{2}\times \frac{1}{2a}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=2\frac{1}{2}}=1\)
よって，\(\displaystyle{\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}} \ge 1\)
等号成立は\(\displaystyle{\frac{a}{2}=\frac{1}{2a}} なので a=1\)
（２）
同様に，\(相加平均\ge 相乗平均\) より
\(\displaystyle{\frac{b}{2a}+\frac{2a}{b}\ge 2\sqrt{\frac{b}{2a}\times \frac{2a}{b}}=2\sqrt{1}=2\)
等号成立条件は \(\displaystyle{\frac{b}{2a}=\frac{2a}{b}} なので b=2aのとき \)
問題128
\(\displaystyle{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}}\)
条件 \(a>b>0\)より，\(分母=ab>0\)，\(分子=a-b>0\)より
\(\displaystyle{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}>0}\)なので，
\(\displaystyle{\frac{1}{b} > \frac{1}{a}}\)は成立する．
問題129 次の不等式を証明せよ．また，等号成立条件を示せ．
（１）
\((x^2+1)(y^2+1) – (xy+1)^2\) とし，展開して整理する．
\(=x^2y^2+x^2+y^2+1 – (x^2y^2+2xy + 1)\)
\(=x^2-2xy + y^2\)
\(=(x-y)^2 \ge 0\)
よって，\((x^2+1)(y^2+1) \ge (xy+1)^2\)は成立する．等号成立は\(x=y\)の時である．
（２）
\(x，y\)ともに実数とする．
\(左辺=x^2-2xy+2y^2=x^2-2xy+y^2 + y^2=(x-y)^2+y^2\)
\((x-y)^2 \ge 0，y^2 \ge 0\)なので\(左辺 \ge 0\)
等号成立は\((x-y)^2 =0 かつy=0\) の時，よって\(x=y=0\)が等号成立の条件である．
