不等式

問題133

（1）

\(x-2 \le 2(x+3) \cdots\cdots ①\)

\(4x+1 \le 2(x+3) \cdots\cdots ②\)

与えられた不等式よりの上記の2つの不等式が導き出され，これを解く．

①より　\(x-2 \le 2x+6\)　を解いて

\(x \ge -8 \cdots\cdots ③\)

②より　\(4x+1 \le 2x+6\)　を解いて

\(x \le \displaystyle\frac{5}{2}  \cdots\cdots ④\)

③と④より，\(-8 \le x \le \displaystyle\frac{5}{2}\)

（２）

\(x^2-9x+8 \le 0 \cdots\cdots ①\)

\(\displaystyle\frac{1}{2}x + 3 < x \cdots\cdots  ②\)

①と②を解いて，両方を満足する範囲が求める\(x\)の範囲である．

①より，\((x-8)(x-1) \le 0\)を解いて

\(1 \le x \le 8 \cdots\cdots ③\)

②より，\(\displaystyle\frac{1}{2}x – x < -3\)

\(x > 6 \cdots\cdots ④\)

③と④より，\(6 < x \le 8 \)

問題134

集合\(A，B\)を求めます．

\(x^2 < 4x +12 \)

\(x^2-4x-12=(x-6)(x+2)\)より，\(-2 < x < 6 \cdots\cdots A\)

\(x^2+5x = x(x+5) \le 0\)より，\(-5 \le  x  \le 0 \cdots\cdots B\)

（１）\(A \cap B\) : \(AとB\)の共通部分

\(A \cap B = (-2 < x < 6) \cap (-5 \le  x  \le 0) \)  数直線にこの2つの範囲を記入して，共通部分を見つける

∴　\(A \cap B = -2 < x \le 0\)

（２）\(A \cup B\)  : \(A と B\)のいずれかの範囲にはいる領域を見つける

\(A \cup B = (-2 < x < 6) \cup (-5 \le  x  \le 0) \)  数直線にこの2つの範囲を記入して

∴　\(A \cup B = -5 \le x <6\)

問題135

（１）

両辺に\((x^2-x-2)^2\)  を乗じる

\(\displaystyle\frac{x-1}{x^2-x-2}\times (x^2-x-2)^2 = (x-1)(x^2-x-2)\)

\(=(x-1)(x-2)(x+1) > 0\) を解いて．3次関数のグラフの概形を描いて求めることができる．

\(x > 2，-1 < x < 1\)

（２）

両辺に\((x-1)^2(x+1)^2\)  を乗じる．

左辺\(=\displaystyle{\frac{2}{x-1}\times (x-1)^2(x+1)^2}= 2(x-1)(x+1)^2\)

右辺\(=\displaystyle{\frac{1}{x+1}\times (x-1)^2(x+1)^2}=(x+1)(x-1)^2\)

\(2(x-1)(x+1)^2 > (x+1)(x-1)^2\) を解けば良い，左辺に集めて整理すると

\(2(x-1)(x+1)^2 – (x+1)(x-1)^2 = (x-1)(x+1)\{2(x+1) – (x-1)\}\)

\(= (x-1)(x+1)(x+3) > 0\) を解いて\(-3 < x < -1，x > 1 \)

fig_135-2-crop

問題135 (2) のグラフの概形

問題136　絶対値記号を含む不等式

絶対値記号を含む不等式（方程式も）は絶対値を外す際の条件に注意．

（１）

絶対値が一つなので，場合分けは2つで済みます．

(i) \(x \ge 7\)の場合

\(x-7 > 5x +2 \Leftrightarrow -4x > 9 \Leftrightarrow x < -\displaystyle{\frac{9}{4}}\)

条件に反するので解なし．

(ii) \(x < 7\)の場合

\(-x+7 > 5x +2 \Leftrightarrow -6x > -5 \Leftrightarrow x < \displaystyle{\frac{5}{6}}\)

（２）

絶対値を外す場合分けは少なくても3通り．

(i) \(x \ge 3\)の場合　

\(x-2>0，x-3 \ge 0\)なので

\(x-2 + x-3 > 5 \Leftrightarrow 2x-5 > 5 \Leftrightarrow 2x > 10 \Leftrightarrow x > 5\)

条件に適合

(ii) \(2 \le x < 3\)の場合

\(x-2 \ge 0，x-3 < 0\)なので

\(x-2 -x+3 > 5 \Leftrightarrow 1 > 5 \)　解なし

(iii) \(x < 2\)の場合

\(x-2 < 0，x-3 < 0\)なので

\(-x+2 -x+3 > 5 \Leftrightarrow -2x+5 > 5 \Leftrightarrow 2x <  0 \Leftrightarrow x < 0 \)

よって，\(x < 0\)

求める解は，\(x < 0，x >5\)

問題137

（１）

\(P=a^2+1 -(a-a^2)\) とする．

\(P=2a^2-a+1=2\left\{ a^2-2\displaystyle\frac{1}{4}a+\left( \displaystyle\frac{1}{4} \right)^2 –  \left( \displaystyle\frac{1}{4} \right)^2 \right\}+1\)

\(=2\left(a-\displaystyle\frac{1}{4}\right)^2-\displaystyle\frac{1}{8} + 1\)

\(=2\left(a-\displaystyle\frac{1}{4}\right)^2 + \displaystyle\frac{7}{8}\)

\(2\left(a-\displaystyle\frac{1}{4}\right)^2 \ge 0，\displaystyle\frac{7}{8} > 0\)

\(P > 0\) なので \(a^2+1 > a-a^2\) 

（２）

\(x^2+(a+1)x-a(a-1)(a^2+1)=x^2+(a+1)x+(a^2+1)(a-a^2)\)

\(=(x+a-a^2)(x+a^2+1)\)

(1)より(a^2+1 > a-a^2) なので

\(-(a^2+1) < x < -(a-a^2)\)　下図からも判るように負になった場合，絶対値が大きい方が数直線上では左側になりますね．

fig_137-2-crop

問題138

アプローチは大きく2つあります．１．はとりあえず解いて\(x=○○，x=●●\)として，条件を考慮して\(x\) の範囲を見つける． ２．二次方程式で解を直接求めないで解と係数の関係を利用する．

【解法１】

\(x^2-3x-(k+1)(k-2)=\{x-(k+1)\}\{x+(k-2)\}\)

より，\(x=k+1，x=-(k-2)\)　この解がともに\(3\)より小さいという条件より

\(k+1 < 3 \cdots\cdots ①\)

\(-(k-2) < 3 \cdots\cdots ②\)

①より，

\(k+1 < 3 \Leftrightarrow  k < 2\)

②より

\(-(k-2) < 3 \Leftrightarrow  -k+2 < 3 \Leftrightarrow  -k < 3-2 \Leftrightarrow k>-1\)

よって求める\(k\)の範囲は　\(-1 < k < 2\)

【解法２】

方程式　\(x^2 -3x – (k+1)(k-2)=0\)　の２つの解を\(\alphaと\beta\) とすると，解と係数の関係より

\(\alpha + \beta = 3　\cdots\cdots ①\)

\(\alpha \beta = -(k+1)(k-2)=-(k^2-k-2)　\cdots\cdots ②\)

ともに\(3\)より小さいという条件より，

\(\alpha < 3 \Leftrightarrow \alpha -3 < 0 \cdots\cdots ④\)

\(\beta < 3 \Leftrightarrow \beta -3 < 0 \cdots\cdots ⑤\)

よって，\(④\times ⑤> 0 \)なので

\((\alpha -3)\times (\beta -3) > 0\)

展開して整理すると

\(\alpha\beta -3(\alpha + \beta) + 9>0\)

これに①と②を代入する．

\(-(k^2-k-2) -3\times (3) + 9= -(k^2-k-2)=-(k-2)(k+1)>0\)

よって，\((k-2)(k+1)<0\) を解けば良い．

∴\(1 < k < 2\)

問題139

 2辺の長さを\(a，b\)とする ，ここで\(a>0, b>0\)である．相加平均，相乗平均の関係より

\(\displaystyle\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) 

これより，\(\displaystyle\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}　\Leftrightarrow \displaystyle\frac{(a+b)^2}{4} \ge (\sqrt {ab})^2 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{(a+b)^2}{4} \ge ab\) 

ここで，\(ab\)は辺\(aとb\)の四角形の面積に相当する．

\(ab\)は\(a=b\)のときに最大値となる．

（おまけ）

\(P=(a+b)^2 – 4ab=(a-b)^2\) なので\(a=b\)のときに\(\sqrt{ab}\)は最大値を取る．正方形となる．

問題140

連立２元２次方程式の問題ですね．未知数が複数の時は，未知数を減じて一つにすることで解くことができます．原則論ですね．そのために式をよーく眺めて，式変形を考えて見通しをたてる．これは経験にもよる．

（１）

\(x^2-xy-6y^2=0 \cdots\cdots  ①\)

\(x^2-2y^2=4 \cdots\cdots  ②\)

\(AB=0\)にできると\(A=0 またはB=0\)とできるし，２次式が１次式になる．①式を眺めると\(3と2\)で因数分解できると予想できます．

①より　\((x-3y)(x+2y)=0\) これより　\(x=3y，x=-2y\)

(i) \(x=3y)のとき

②へ代入する．

\((3y^2) – 2y^2 = 4，　 9y^2-2y^2 = 4，　 y^2=\displaystyle\frac{4}{7}\)

\(y=\pm\displaystyle\frac{2}{\sqrt{7}}\)

よって，\(x=\pm\displaystyle\frac{6}{\sqrt{7}}\) (複号同順)

(ii) \(x=-2y\)のとき

②へ代入

\((-2y)^2-2y^2=4， 2y^2=4， y^2=2\)

よって，\(y=\pm\sqrt{2}\)

\(x=\mp 2\sqrt{2}\)　(複号同順)

（２）

(3x^2-5xy+2y^2=17 \cdots\cdots  ①\)

\(x^2+4xy-5y^2=0 \cdots\cdots  ②\)

②式が因数分解できそうと見通せますね．

②式より \((x+5y)(x-y)=0，x=-5y または x=y\)

(i) \(x=y\)のとき

①式へ代入

\(3y^2-5y^2+2y^2=17，0=17\) となり解なし．

(ii) \(x=-5y\)のとき

①式へ代入

\(3(-5y)^2-5(-5y)y+2y^2=17\)

\(75y^2+25y^2+2y^2=17\)

\(102y^2=17\)

\(y^2=\displaystyle\frac{1}{6}\)

\(y=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 6}\)

\(x=(-5)\times (\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 6}) = \mp\displaystyle\frac{5}{\sqrt 6}\) (複号同順)

（３）

\(x(x-y) = 12 \cdots\cdots  ①\)

\(x(x+y) = 60 \cdots\cdots  ②\)

①式と②式を眺めると，括弧をはずと\(xy\)が表れてくる，これで\(xy\)を消すと未知数\(y\)を消すことで「未知数を少なくする」ことができる．

①\(+\)②，辺々足し算する

\(2x^2=72，x=36\)

\(x=\pm 6\)

(i) \(x=+6\)のとき

②式に代入すると

\(6\times (6+y)=60，36+6y=60\)

\(y=+4\)

(ii) \(x=-6\)のとき

②式に代入すると

\((-6)\times ((-6)+y)=60，36-6y=60\)

\(y=-4\)

求める答えは \(x=\pm 6，y=\pm 4\)　(複号同順)

（４）

方針：\(A\times B =0\)の形にして因数分解する．

定数項を消去すると\( A\times B =0\)　となりますね．\( A\times B\)　が因数分解できるかどうかは，やってみましょう．

\(①\times 4 と ②\times 3\)  を先ず行います．

\(8x^2 – 4xy = 48 \cdots\cdots  ①’\)

\(6xy + 3y^2 = 48 \cdots\cdots  ②’\)

\(①’ – ②’\)

\(8x^2-10xy-3y^2=0\)  

\((4x+y)(2x-3y)=0\)

\(y=-4x　または　y=\displaystyle\frac{2}{3}\)　

\(\left \{ x=-\displaystyle\frac{1}{4}y，x=\displaystyle\frac{3}{2}y \right \}\)

としても大丈夫ですが，分数が入った計算はやや面倒になるのできるだ少なくしました．

(i) \(y=-4x\)のとき

①式へ代入

\(2x^2-x(-4x)=12\)

\(x^2=2\)

よって，\(x=\pm\sqrt 2\)

\(y=-4(\pm\sqrt 2)=\mp 4\sqrt 2\)　

求める\(x，y\)の値は

\(x=\pm\sqrt 2，y=\mp 4\sqrt 2\)　(複号同順)

(ii) \(y=\displaystyle{\frac{2}{3}x}\)のとき

①式に代入する

\(2x^2-x(\displaystyle\frac{2}{3}x)=12\)

\(\displaystyle\frac{4}{3}x^2=12\)

\(x^2=9\)

よって，\(x=\pm3\)，\(y=\pm 3\)　(複号同順)

問題141　コーシーシュワルツの不等式

証明すべき不等式は「コーシー・シュワルツの不等式」と呼ばれる有名な不等式の一つです．

簡単な形は　\((a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2\)　である．

【証明】

左辺\(-\)右辺\(= (a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2\)

\(=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2 – \{a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2\}\)

\(=a^2y^2+b^2x^2-2abxy\)

\(=(ay – bx)^2 \ge 0 \)

等号成立は　\(ay = ax \Leftrightarrow a:b = x:y\)

【\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \ge (ax+by+cz)^2\)　の証明】（問題141の解答になります．）

左辺\(-\) 右辺 \(\ge 0\)を示す方法を取る．

まず，両辺を展開する．（これまでの学習履歴ではこの方法が最良と思われる．）

右辺を展開し整理する：

右辺\(=(ax+by+cz)^2 = a^2x^2 + 2ax(by+cz) + (by+cz)^2\)

\(=a^2x^2 + 2abxy + 2acxz + b^2y^2 + 2bcyz + c^2z^2\)

\(=a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 + 2abxy + 2bcyz + 2aczx \)

左辺を展開し整理する：

左辺\(=(a^2 + b^2 + c^2)x^2 + (a^2 + b^2 + c^2)y^2 + (a^2 + b^2 + c^2)z^2 \)

\(=a^2x^2 + b^2x^2 + c^2x^2 + a^2y^2 + b^2y^2 + c^2y^2 +a^2z^2 + b^2z^2 + c^2z^2\)

左辺\(-\)右辺を考えます．\(a^2，b^2y^2，c^2z^2\)がキャンセルされ，\(2abxy + 2bcyz + 2aczx\)

が残るので　\((実数)^2\) が作れそうと予想できる．

左辺\(-\)左辺\(=b^2x^2 – 2abxy + a^2y^2 + c^2y^2 – 2bcyz + b^2z^2 + a^2z^2 – 2aczx + c^2x^2\)

\(=(bx – ay)^2 + (cy – bz)^2 + (az – cx)^2 \ge 0\)

等号条件は\(bx=ay,，cy=bz，az=cx \Leftrightarrow a:b=x:y，b:c=y:z，a:c=x:z\)

\(\Leftrightarrow a:b:c=x:y:z\)

【コーシー・シュワルツ不等式の一般形 とその証明】

ここで示す証明よりもっとスマートな証明はベクトルと内積，三角関数などを学習されたあとで考えて下さい．

\(\left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}a^2_i\right)\left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b^2_i\right) \ge \left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2\) という不等式が成立する．但し，\(a_i，b_i\)は実数．等号成立は\(a_1=a_2=　\cdots\cdots =a_n=0\) または\(b_1=ka_1, b_2=ka_2, \cdots\cdots, b_n=ka_n\) なる実数 \(k\) が存在するとき．

\(a_1, a_2, \cdots\cdots a_n\)の少なくても一つは\(0\)ではないとして，証明を試みます．

いま，ここで　\(\displaystyle {\sum_{i=1}^{n}( a_ix – b_i)^2=0} \cdots\cdots ①\)を考える．

\(\displaystyle {\sum_{i=1}^{n}( a_i^2x^2 – 2a_ib_ix+b_i^2)}=0\)

\(\displaystyle{\left (\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right )x^2}-2\displaystyle{\left (\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right )x}+\displaystyle{\left (\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right )}=0\)

\(x\)に関する二次方程式になっている．ここで判別式を調べます．

\(D = 4\left ( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}\right )^2 – 4 \left (\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} \right )\left ( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} \right )\)

ここで，①式の左辺を\(f(x)\) とすると，\(f(x) \ge 0\)である．よって，\(f(x)\)は下に凸のグラフで\(x\)軸とたかだか一点でしか交わらないので，　判別式\(D \le 0\)である．

\( 4\left ( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}\right )^2 – 4 \left (\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} \right )\left ( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} \right ) \le 0\)

\( \left ( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}\right )^2 –  \left (\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} \right )\left ( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} \right ) \le 0\)

移項して

\( \left ( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}\right )^2 \le \left (\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} \right )\left ( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} \right ) \)

∴　\(\left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}a^2_i\right)\left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b^2_i\right) \ge \left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2\)

等号成立条件は判別式\(D=0\)のときである．これは①式が解を持つときになるので

\(a_1x=b_1, a_2x=b_2, \cdots\cdots a_nx=b_n\) を満たす\(x\)が存在するとき．

よって，証明された．