ここでは絶対値記号とその働き，根号を含む計算，複素数に関する基本的な事項を学びます．
絶対値
数直線上で，原点からの距離| a | を考えると正方向に点\(P(a,0) a>0\)と点\(Q(-a,0) a<0\)の２点がある．このように絶対値を原点からの距離と捉えるとわかりやすいのではないでしょうか．絶対値を外す場合には２通りを常に意識する必要がある．\(a\)の値が\(a\ge 0\)の場合と\(a<0\)の場合である．
それでは問題の解説に入っていきましょう．
fig_abs-crop問題 39
(1) \(x=0\)の場合，\(x\)の値を与式に代入すると
与式\(=|0+1|+|0-4| = |1|+|-4| = 1+4=5\)
(2) 同様に\(x=-2\)を与式に代入する
与式\(=|-2+1|+|-2-4|=|-1|+|-6|=1+6=7\)
(3) \(x=-3\)のとき
与式\(=|-3+1|+|-3-4|=|-2|+|-7|=2+7=9\)
(4) \(x=\pi\)のとき， 注意：\(3.14<\pi <4\)
与式\(=|\pi+1|+|\pi-4|\) \(3.14<\pi <4\)なので\(|\pi + 1 > 0\) よって\(|\pi +1|=\pi +1\)，また\(3.14<\pi <4\)より\(\pi-4<0\)なので\(|\pi-4|=4-\pi\)
よって，与式\(=\pi +1+4-\pi=5\)
問題 52
(1) 与式\(=|3-5|=|-2|=2\)
(2) \(2.44<\sqrt{6}<2.45\)は頭に入れておきましょう．
\(2\sqrt{6}<5\)なので\(|2\sqrt{6}-5|=5-2\sqrt{6}\)
よって，与式\(= (5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})=25-(2\sqrt{6})^2= 25-4\times 6=1\)
(3) 与式\(=|\sqrt{2} – 2|^2 + |\sqrt{2}+2|^2= (\sqrt{2})^2-4\sqrt{2} +4 + (\sqrt{2})^2+4\sqrt{2} +4\)
\(= 2 +4 +2 +4 = 12\)
(4) \(2<\sqrt{5}<3\)
\(\sqrt{5}>2 また \sqrt{5}<5\)より，与式\(=\sqrt{5} -2 – \sqrt{5} + 5 = 3\)
根号を含む計算
正の数\(a\)について２乗して\(a\)になる数を\(+\sqrt{a}\)，\(-\sqrt{a}\)とする．２乗を”平方”とも言うのでこのような数を平方根とよぶ．\(a=(\pm\sqrt{a})^2\)とする．平方根は英語でsquare rootなのでこれを平方根と訳している．記号は”r”から作り出したものという説がある．信じるか信じないかは貴方次第！！
実数\(a\)の場合\(\sqrt{a^2}=|a|\)となることに注意されたし．例えば\(a=-5\)のとき\(\sqrt{(-5)^2}=-5\)ではなく，\(\sqrt{(-5)^2}=|(-5)|=5\)としなければならない．
では問題の解説に入っていきます．
問題40
方針は根号の中の数をできるだけ小さくすることです．
(1) \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=\sqrt{2^2\times 5}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{5}=2\sqrt{5}\) 最初の段階なので計算の途中を全て書きました．
よって，与式\(=\sqrt{5} + 2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)
(2)
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{27}=\sqrt{3^2\times 3}=3\sqrt{3}\)，\(\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3}\)
よって，与式\(=2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} – 4\sqrt{3}=\sqrt{3}\)
(3) 分母と分子を別々の簡単化する．
分母\(=2\sqrt{50}=2\sqrt{25\times 2}=10\sqrt{2}\)
分子\(=\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=4\sqrt{2}\)
与式\(=\displaystyle{\frac{4\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}}=\displaystyle\frac{2}{5}\)
(4) ２つのアプローチで計算してみましょう
アプローチ１ まず展開する．
与式\(=({\sqrt{3}})^2 – 2\times \sqrt{3} \times \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}} +\displaystyle{ {(-\frac{1}{\sqrt{3}})}^2}\)
\(=3 -2 + \displaystyle{\frac{1}{3}}=1+\displaystyle{\frac{1}{3}}=\displaystyle{\frac{4}{3}}\)
問題41
\(\sqrt{a^2}=|a|\)を思い出してください．
(1) 与式\(=\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}=|3-\sqrt{5}|\)
ここで，\(sqrt{5} < 3\)より
与式\(=3-\sqrt{5}\)
(2) (1) と同様に
与式\(=|1-\sqrt{3}|\) ここで\(1.7<\sqrt{3}<1.73\)だから\((1-\sqrt{3})<0\)
よって，与式\(=-(1-\sqrt{3})=\sqrt{3}-1\)
問題42
有理化ってなんですか？
有理化って有理数にすること．
有理数ってなんですか？
\(\displaystyle{\frac{b}{a}}\)で表現できる数を有理数という．但し，\(a\)も\(b\)も整数とす．次の話題とも関係するが，複素数，実数，整数，自然数と言葉が沢山ある．「数学の小話」ところで解説することにしよう．
とりあえず，ここでは根号を外すと理解しておこう．
(1) \((\sqrt{3}+1)\)に\((\sqrt{3}-1)\)を掛けると\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)より根号が消えることがわかる．よって，分母と分子に\((\sqrt{3}-1)\)を掛ける．
与式\(=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}}=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\)
(2) 今度は分母と分子に\((\sqrt3 + \sqrt2)\)を乗じる．
与式\(=\displaystyle{\frac{(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 + \sqrt2)}{(\sqrt3 – \sqrt2)(\sqrt3 + \sqrt2)}}= \displaystyle{\frac{(\sqrt3 + \sqrt2)^2}{3 – 2}}=3+2\sqrt6 +2=5+2\sqrt6\)
２重根号の取扱
根号の中に，更に根号を含む場合がある．例えば，\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)のような場合である．このような場合には，\(\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}\)と考えると外側の根号の記号をはずことができて，\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)となる．
いま，\(a>b>0\)とすると二重根号の外し方は次のように記述できる．
\(\sqrt{a+b\pm2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt a)^2 \pm 2\sqrt{ab} + (\sqrt{b})^2}=\sqrt{(\sqrt a \pm \sqrt b)^2}\)
\(=\sqrt a \pm \sqrt b\)
\(a>b>0\)ではなく，\(a>0, b>0\)の場合は
\(\sqrt{a+b – 2\sqrt{ab}}=|\sqrt a – \sqrt b|\)とし，\(\sqrt a\)と\(\sqrt b\)の大小を調べてから絶対値を外すことになる．
問題62
左辺\(=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt a + \sqrt b)^2}= \sqrt a + \sqrt b\)
∴左辺\(=\)右辺
問題63
（１）
与式\(=\sqrt{3-2\sqrt{s}}=\sqrt{2+1-2\sqrt{2\times 1}}=\sqrt{(\sqrt 2)^2 -2\sqrt{2\times 1} + (\sqrt{1})^2}\)
\(=\sqrt{(\sqrt 2 – \sqrt 1)^2} = \sqrt 2 – \sqrt 1=\sqrt 2 – 1\) \(\sqrt 2 > 1\)
（２）
与式\(=\sqrt{5+2\sqrt 6}=\sqrt{3+2+2\sqrt{3\times 2}}=\sqrt{(\sqrt 3 + \sqrt 2)^2}=\sqrt 3 + \sqrt 2\)
（３）
与式\(=\sqrt{7-4\sqrt 3} = \sqrt{4+3-2\sqrt{4\times 3}}=\sqrt{(\sqrt 4)^2 – 2\sqrt{4\times 3} +(\sqrt 3)^2 }\)
\(=\sqrt{(\sqrt 4 – \sqrt 3)^2}=\sqrt 4 – \sqrt 3= 2 – \sqrt 3\)， \(2>\sqrt 3\)
（４）
与式\(=\sqrt{27-\sqrt 200}=\sqrt{27 – \sqrt{4\times 50}}=\sqrt{25 + 2 -2\sqrt{25\times 2}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt {25} – \sqrt 2)^2}=\sqrt {25}-\sqrt 2=5-\sqrt 2\)
（５）\(\sqrt{ a + b +2\sqrt{ab}}\)の形に持っていく工夫
与式\(=\sqrt{2+\sqrt 3}=\displaystyle\sqrt{{\frac{4 + 2\sqrt 3}{2}}}= \displaystyle{\frac{\sqrt{3 + 1 + 2\sqrt{3\times 1}}}{\sqrt 2}}\)
\(=\displaystyle{\frac{\sqrt{(\sqrt 3 + \sqrt 1)^2}}{\sqrt 2}}= \displaystyle{\frac{\sqrt 3 + 1}{\sqrt 2}}\)
（６）
与式\(=\sqrt{4 + \sqrt 7}= \displaystyle{\sqrt{\frac{8+2\sqrt 7}{2}}}= \displaystyle{\frac{\sqrt{7 + 1 + 2\sqrt{7\times 1}}}{\sqrt 2}}\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{(\sqrt 7 + \sqrt 1)^2}}{\sqrt 2} = \displaystyle{\frac{\sqrt 7 + 1}{\sqrt 2}}\)
問題64
(1)根号を外すときに，中身が正か負に注意！！
与式\(=\sqrt{1+x-2\sqrt x}=\sqrt{(\sqrt 1)^2 – 2\sqrt{1\times x} + (\sqrt x)^2}\)
\(=\sqrt{(\sqrt 1 – \sqrt x)^2}=|1 – \sqrt x|\)
\(x\ge 1\) より\((1-\sqrt x)\le 0\)なので
与式\(=\sqrt x -1\)
（２）
与式\(=\sqrt{1 + 2\sqrt{a(1-a)}} = \sqrt {a + (1-a) + 2\sqrt{a(1-a)}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt a)^2 + 2\sqrt{a(1-a)}+(\sqrt{1-a})^2}=\sqrt{(\sqrt a + \sqrt{1-a})^2}\)
\(=\sqrt a + \sqrt{1-a}\) \(0 \le a \le 1\)なので根号の中は正である．
問題65
二重根号を外す．次に必要ならば分母の有理化を行う．
分母\(=\sqrt{6-2\sqrt{5}}= \sqrt{5+1-2\sqrt{5\times 1}}=\sqrt 5 -1\)
与式\(=\displaystyle{\frac{8}{\sqrt 5 -1}}=\displaystyle{\frac{8(\sqrt 5 + 1)}{(\sqrt 5 – 1)(\sqrt 5 +1)}}\)
\(=\displaystyle{\frac{8(\sqrt 5 + 1)}{4}}=2\sqrt 5 + 2\)
\((2 \sqrt 5)^2= 20\)より
\( 16 < (2\sqrt 5)^2 < 25\) だから\(4 < 2\sqrt 5 < 5\)
したがって，\(4 + 2 < 2\sqrt 5 < 5+2 \Leftrightarrow 6 < 2\sqrt 5 < 7\)
これより
整数部分は\(a=6\)，
小数部分は\(b=2\sqrt 5 – 6=2\sqrt 5 -4\) 全体から整数部分を引けば良い
求めるのは \(\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\) の値である．\(\displaystyle{\frac{a+b}{ab}}\)としてから求めるのと，もとに式に \(a\) と\(b\) の値を代入して計算する方法が思いつくがどちらが楽に計算できるか，頭の中で試行してみるのはどうでしょうか．
\(\displaystyle\frac{1}{b} = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt 5 -4}=\displaystyle\frac{2\sqrt 5 + 4}{(2\sqrt 5 – 4)(2\sqrt 5 + 4)}=\displaystyle\frac{2\sqrt 5 + 4}{20 – 16} = \displaystyle\frac{\sqrt 5 + 2}{2}\)
\(\displaystyle{\frac{1}{a} + \frac{1}{a}} = \displaystyle{\frac{1}{6} + \frac{\sqrt 5 + 2}{2}}=\displaystyle\frac{1 + 3\sqrt 5 + 6}{6}= \displaystyle\frac{7 + 3\sqrt 5}{6}\)
